Eulersche Phi-Funktion - Multiplikativität

12.08.2017, 14:52	Imax	Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche Phi-Funktion - Multiplikativität Meine Frage: Moin, eine Frage: Ist $\begin{eqnarray} \phi (m\cdot n) = \phi (m)\cdot \phi (n) \end{eqnarray}$ mit dieser Version des Chinesischen Restsatzes beweisbar?: $\begin{eqnarray} m_1,\ldots ,m_n\in \mathbb N,\quad a_1,\ldots ,a_n\in \mathbb Z\quad \Rightarrow <br /> <br /> x\equiv a_1\ (mod\, m_1)<br /> \vdots<br /> x\equiv a_n\ (mod\, m_n) \end{eqnarray}$ ist lösbar. Meine Ideen: Wenn ich nur das nehme: $\begin{eqnarray} <br /> x\equiv a\ (mod\, m)<br /> x\equiv b\ (mod\, n) \end{eqnarray}$ , dann könnte ich da das m und n von oben reinlesen... aber weiter...?
12.08.2017, 15:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Helmut Hasse macht genau das in seinen "Vorlesungen über Zahlentheorie" Springer 1950, §4,9. "Simultane Kongruenzen, direkte Summenzerlegung des Restklassenrings". Weil er dafür 4 Seiten braucht und dabei der Beweis des chinesischen Restsatzes im Vordergrund steht, möchte ich das lieber nicht alles abschreiben.
12.08.2017, 15:59	Imax	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ou, das ist ziemlich ungünstig. Ist ein Beweis mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes nicht aber der Standardbeweis?
12.08.2017, 19:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für mich ist Helmut Hasse das Maß aller Dinge, und er leitet die Multiplikativität der Eulerfunktion (§4,8.) her aus der Summenformel (§4,6.) und den Möbiusschen Umkehrformeln (§4,7.) .

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