Stetigkeit -> Zwischenwertsatz

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Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit -> Zwischenwertsatz
Frage:

Ich habe eine Frage zu einer konkreten Aufgabenstellung zum Thema Stetigkeit und Zwischenwertsatz:

Aufgabe: Seit f : [0,1] -> R eine stetige Funktion mit f(0) * f(1) < 0 und f(0)+f(1) != 0. Zeigen Sie, dass ein

Hinweis (lt. Aufgabenstellung): Betrachten Sie die Funktion

Lösungsansatz:
Ich kenne die Aussage des Zwischenwertsatzes, dass man bei einem a,b aus R mit a < b und f ist auf dem Intervall [a,b] stetig, ein reelles y0 zwischen f(a) und f(b) hat, so dass es ein x0 aus dem Intervall [0,1] gibt mit f(x0) = y0.
Also mal einfach gesagt, wenn ich mir einen Wert zwischen a und b wähle, und dies in die Funktion einsetze, dass ist auch das Ergebnis zwischen f(a) und f(b).

Ich nehme mir das g(x), also den Hinweis, her und setze da mal meine untere und obere Schranke ein, also die 0 und die 1:


Aber ich weiß nicht, was ich jetzt dann machen soll. Das bringt mir ja noch nicht wirklich was. Ist es weiterhin stetig?

Bei der Musterlösung wird noch folgender Schritt durchgeführt, den ich aber leider nicht nachvollziehen kann:



Ich kann das leider nicht nachvollziehen. Wenn ich das bspw. mal für g(0) versuche nachzuvollziehen:

Ich weiß, dass f im geschlossenen Intervall [0,1] liegen muss. D.h., dass nach Voraussetzung f(0) auch zwischen 0 und 1 liegen muss. D.h. f(0) könnte maximal die 1 und minimal die 0 sein. Somit könnte f(0)-1 = 0 oder f(0)-1 = -1 sein (oder dazwischen).

Ich bekomme die Informationen nicht verknüpft, so dass es mir weiterhelfen würde. Kann mir jemand einen Schubs in die richtrige Richtung geben bitte?

Danke und viele Grüße
Felix
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit -> Zwischenwertsatz
Zitat:
Original von Felixxxxxx



Da scheitert es gerade massiv an der Bruchrechnung. Es ist und NICHT .
Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit -> Zwischenwertsatz
Oh Gott, wie doof war das denn. Vielen Dank, für die "Backpfeife". Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr ...

Also:

g(1) analog ...

Die Musterlösung sagt, dass das Ergebnis negativ ist. Ich weiß nur, dass f(0)+f(1) != 0 ist und f(0)*f(1)<0.

Nehme ich mal die Voraussetzung nach f(0)*f(1)<0, und ich gehe davon aus, dass f(0) positiv ist, dann muss f(1) negativ sein. Reicht das, als Annahme?

Danke und viele Grüße
Felix
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit -> Zwischenwertsatz
Ich habe wohl einige Fragen übersprungen. Mal der Reihe nach:
Zitat:
Aber ich weiß nicht, was ich jetzt dann machen soll. Das bringt mir ja noch nicht wirklich was. Ist es weiterhin stetig?


ist stetig wie man leicht sieht, da es aus stetigen Funktionen `aufgebaut' ist. Es ist ja nur etwas skaliert und verschoben.

Zitat:
Ich weiß, dass f im geschlossenen Intervall [0,1] liegen muss. D.h., dass nach Voraussetzung f(0) auch zwischen 0 und 1 liegen muss.[/quote.

Nein. liegt zwischen und . Was damit macht, weisst du nicht!

[quote]Die Musterlösung sagt, dass das Ergebnis negativ ist. Ich weiß nur, dass f(0)+f(1) != 0 ist und f(0)*f(1)<0.


Sie wird sicher mehr sagen. Alles was du brauchst ist, dass entweder ODER gilt.

Was davon der Fall ist, hängt von ab. Du musst nur begründen, warum eine der beiden Aussagen gilt. Ganz sauber:
Fall 1a) und . Dann gilt...
Fall 1b) und . Dann gilt...
Fall 2a) und . Dann gilt...
Fall 2b) und . Dann gilt...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit -> Zwischenwertsatz
Wenn du das oben als "Backpfeife" bezeichnest, dann muss ich gleich leider die nächste verteilen:

Zitat:
Original von Felixxxxxx

Richtig ist .
Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit -> Zwischenwertsatz
Zitat:
Original von IfindU
ist stetig wie man leicht sieht, da es aus stetigen Funktionen `aufgebaut' ist. Es ist ja nur etwas skaliert und verschoben.

Alles klar, danke.
Zitat:
Original von IfindU
Nein. liegt zwischen und . Was damit macht, weisst du nicht!

Ach hier ,danke. Ich hatte ja selber geschrieben, dass f -> R geht. Ich habe jetzt mal ne Pause gemacht, hoffe das hilft smile

Danke für Deine Hilfe!

Zitat:
Original von HAL 9000
Wenn du das oben als "Backpfeife" bezeichnest, dann muss ich gleich leider die nächste verteilen:

Richtig ist .


Jetzt ergibt auch die Musterlösung Sinn. Danke für die Backpfeife smile
 
 
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