Konvergenz einer Reihe

13.08.2017, 15:26	Kaly	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Meine Frage: Moin Leute, Könnt ihr mir bei dieser Reihe bitte einmal weiterhelfen: Summe von n=0 bis K {n * exp(an)} Ich weiß nicht wie ich das noch umformen kann um die Formel der geometrischem reihe anzuwenden? Habt ihr irgendwelche Tipps? Lg Meine Ideen: .
13.08.2017, 15:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Redest du über die Reihe $\begin{align} \sum_{n=0}^{\infty} n\cdot \exp(an) \end{align}$ oder die (endliche) Summe $\begin{align} \sum_{n=0}^K n\cdot \exp(an) \end{align}$ ? Beides ist machbar, letzteres aber termmäßig etwas aufwändiger...
13.08.2017, 16:39	Kaly	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja leider über die endlich reihe Hast du irgendwelche Tipps wie ich das am einfachsten lösen kann? Vielen Dank schonmal
13.08.2017, 16:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal ist das der Spezialfall $\begin{align} z=\exp(a) \end{align}$ von $\begin{align} f_K(z)=\sum_{n=0}^K nz^n \end{align}$ . Eine Summenformel davon kann man entwickeln via $\begin{align} (1-z)^2 f_K(z) = (1-2z+z^2) \sum_{n=0}^K nz^n = \sum_{n=0}^K nz^n - 2\sum_{n=1}^{K+1} (n-1)z^n + \sum_{n=2}^{K+2} (n-2)z^n \end{align}$ . Für die Summanden $\begin{align} n=2,\ldots,K \end{align}$ haben wir Koeffizient $\begin{align} n-2(n-1)+(n-2)=0 \end{align}$ , es verbleibt $\begin{align} (1-z)^2 f_K(z) = z - 2Kz^{K+1}+ (K-1)z^{K+1}+Kz^{K+2} = z-(K+1)z^{K+1}+Kz^{K+2} \end{align}$ .

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