Bedingte Wahrscheinlichkeit

14.08.2017, 14:47

franzkafka

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Gegeben sind zwei Urnen. U1 enthält 4 rote und 2 gelbe Kugeln. U2 2 rote, 1 gelbe und 1 blaue. Aus einer der Urnen wird eine Kugel zufällig entnommen. Sie ist gelb oder blau. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie aus der Urne U1 stammt?

Meine Ideen:
Ich habe erstmal eine Vierfeldertafel aufgestellt und dann die Formel (P(Schnittmenge A/B)) / P(B). Für P(B) habe ich 2/5, da es ja 3 gelbe und eine blaue Kugel von ings 10 Kugeln gibt, also ist die Wahrscheinlichkeit dafür 4/10? Aber die komme ich auf den Zähler?
Danke für jede Hilfe!

14.08.2017, 15:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von franzkafka
Für P(B) habe ich 2/5, da es ja 3 gelbe und eine blaue Kugel von ings 10 Kugeln gibt, also ist die Wahrscheinlichkeit dafür 4/10?

Abgesehen davon, dass du nicht erklärst, was du mit den Ereignissen A und B meinst, gibt es an der Stelle noch Klärungsbedarf:

1) Du bist der Ansicht, dass jede der 10 Kugeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen wird.

2) Genausogut könnte man aber auch annehmen, dass jede der beiden Urnen mit 50% ausgewählt wird, und erst nach dieser Vorauswahl gleichberechtigt innerhalb der Urne gezogen wird (bei Urne 1 sechs Kugeln, bei Urne 2 aber vier).

Beides führt auf unterschiedliche Modelle und unterschiedliche Ergebniswahrscheinlichkeiten - es ist also zu klären, wie der Ziehungsprozess

Zitat:

Original von franzkafka
Aus einer der Urnen wird eine Kugel zufällig entnommen.

wirklich gemeint ist, also 1) oder 2). verwirrt

Natürlich kann man auch beide Varianten getrennt durchrechnen und anbieten. smile

14.08.2017, 15:23

franzkafka

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von franzkafka
Für P(B) habe ich 2/5, da es ja 3 gelbe und eine blaue Kugel von ings 10 Kugeln gibt, also ist die Wahrscheinlichkeit dafür 4/10?

Zitat:

Original von franzkafka
Aus einer der Urnen wird eine Kugel zufällig entnommen.

wirklich gemeint ist, also 1) oder 2). verwirrt

Natürlich kann man auch beide Varianten getrennt durchrechnen und anbieten. smile

Oh stimmt, ich denke die 2. Variante ist die gewollte.
Mit B meine ich, dass die gezogene Kugel gelb oder blau ist. A ist dann, dass sie aus Urne A stammt. Aus welcher Urne sie stammt bzw dass sie aus der Urne U1 stammt ist doch das, was im Zähler steht, oder nicht? Wie man darauf kommen soll weiß ich erst recht nicht...

14.08.2017, 15:33

HAL 9000

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Ok, also

$\begin{align*} A \end{align*}$ ... gezogene Kugel stammt aus Urne 1
$\begin{align*} B \end{align*}$ ... gezogene Kugel ist gelb oder blau

Wir haben uns gerade auf Modell 2) geeinigt, damit ist $\begin{align*} P(A) = P(A^c) = \frac{1}{2} \end{align*}$ . Aus der Kugelkonfiguration kann man ablesen

$\begin{align*} P(B \mid A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}<br /> P(B \mid A^c) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align*}$

Damit ist $\begin{align*} P(B) = P(A)P(B\mid A)+P(A^c)P(B\mid A^c) \end{align*}$ die (totale) Wkt, eine gelbe oder blaue Kugel zu ziehen, und $\begin{align*} P(A\mid B) = \frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)} \end{align*}$ dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

14.08.2017, 17:21

franzkafka

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, also

$\begin{align*} A \end{align*}$ ... gezogene Kugel stammt aus Urne 1
$\begin{align*} B \end{align*}$ ... gezogene Kugel ist gelb oder blau

Wir haben uns gerade auf Modell 2) geeinigt, damit ist $\begin{align*} P(A) = P(A^c) = \frac{1}{2} \end{align*}$ . Aus der Kugelkonfiguration kann man ablesen

$\begin{align*} P(B \mid A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}<br /> P(B \mid A^c) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \end{align*}$

Damit ist $\begin{align*} P(B) = P(A)P(B\mid A)+P(A^c)P(B\mid A^c) \end{align*}$ die (totale) Wkt, eine gelbe oder blaue Kugel zu ziehen, und $\begin{align*} P(A\mid B) = \frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)} \end{align*}$ dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Vielen Dank für die Erklärung, aber diese Formeln hatten wir gar nicht. Auch das A^c nicht. Nur die P(A|B) = P (Schnittmenge von A und B) / P (B). Nenner und Zähler sollen wir einzeln ausrechnen. Sorry dass ich soviel Mühe mache...

14.08.2017, 17:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von franzkafka
Vielen Dank für die Erklärung, aber diese Formeln hatten wir gar nicht.

Glaub ich nicht. Vielleicht mit anderen Symbolen, oder nur mit "Baumdiagramm" erklärt, wie auch immer - aber inhaltlich müsst ihr das irgendwie kennengelernt haben.

14.08.2017, 18:03

franzkafka

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von franzkafka
Vielen Dank für die Erklärung, aber diese Formeln hatten wir gar nicht.

Glaub ich nicht. Vielleicht mit anderen Symbolen, oder nur mit "Baumdiagramm" erklärt, wie auch immer - aber inhaltlich müsst ihr das irgendwie kennengelernt haben.

Wir haben das Thema heute begonnen und nur die Formel (Schnittmenge A/B) / B kennengelernt. Baumdiagramme hatte ich vor Jahren mal - auch damit habe ich es versucht, aber es ist nicht das Rechnen, an dem es scheitert, sondern das Verständnis.

14.08.2017, 18:13

HAL 9000

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Da gibt's nicht sonderlich viel zu verstehen: Es gibt zwei mögliche Wege, um eine gelbe oder blaue Kugel zu ziehen:

Aus $\begin{align*} U_1 \end{align*}$ oder aus $\begin{align*} U_2 \end{align*}$ . Der erste Pfad über $\begin{align*} U_1 \end{align*}$ hat dabei die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(A\cap B) = P(B \mid A)\cdot P(A) = \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6} \end{align*}$ . Der zweite Pfad über $\begin{align*} U_2 \end{align*}$ hat hingegen die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(A^c\cap B) = P(B \mid A^c)\cdot P(A^c) = \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \end{align*}$ . Die Summe ergibt die Gesamtwahrscheinlichkeit, eine gelbe oder blaue Kugel zu ziehen (auch als "totale" Wahrscheinlichkeit bezeichnet), das ist $\begin{align*} P(B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{4} =\frac{5}{12} \end{align*}$ .

14.08.2017, 18:18

G140817

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U1 enthält keine blauen Kugeln. verwirrt

14.08.2017, 19:28

franzkafka

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da gibt's nicht sonderlich viel zu verstehen: Es gibt zwei mögliche Wege, um eine gelbe oder blaue Kugel zu ziehen:

Aus $\begin{align*} U_1 \end{align*}$ oder aus $\begin{align*} U_2 \end{align*}$ . Der erste Pfad über $\begin{align*} U_1 \end{align*}$ hat dabei die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(A\cap B) = P(B \mid A)\cdot P(A) = \frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6} \end{align*}$ . Der zweite Pfad über $\begin{align*} U_2 \end{align*}$ hat hingegen die Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(A^c\cap B) = P(B \mid A^c)\cdot P(A^c) = \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \end{align*}$ . Die Summe ergibt die Gesamtwahrscheinlichkeit, eine gelbe oder blaue Kugel zu ziehen (auch als "totale" Wahrscheinlichkeit bezeichnet), das ist $\begin{align*} P(B)=\frac{1}{6}+\frac{1}{4} =\frac{5}{12} \end{align*}$ .

Okay, auch wenn mir das mit dem A^c gänzlich unbekannt ist - danke. Damit habe ich nun 5/12 als P (B). Und P (Schnittmenge A B) wäre 1/6. Nach "meiner" Formel müsste das Ergebnis dann (1/6) / (5/12) = 2/5 sein. Ist das auch dein/Ihr Ergebnis?

14.08.2017, 19:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von franzkafka
Okay, auch wenn mir das mit dem A^c gänzlich unbekannt ist

Na vielleicht die Symbolik, aber sicher nicht der Inhalt: Das steht einfach für Komplement, also Gegenteil. Womöglich habt ihr das mit $\begin{align*} \overline{A} \end{align*}$ bezeichnet, was ich nicht so gut finde wg. der Verwechslungsgefahr mit dem topologischen Abschluss.

Zitat:

Original von franzkafka
Nach "meiner" Formel müsste das Ergebnis dann (1/6) / (5/12) = 2/5 sein. Ist das auch dein/Ihr Ergebnis?

Ja, ist korrekt.

P.S.: Und "dein" ist ausreichend. Duzen ist hier üblich, vom Grundschüler bis zum Professor. Augenzwinkern

14.08.2017, 19:37

franzkafka

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von franzkafka
Okay, auch wenn mir das mit dem A^c gänzlich unbekannt ist

Zitat:

Original von franzkafka
Nach "meiner" Formel müsste das Ergebnis dann (1/6) / (5/12) = 2/5 sein. Ist das auch dein/Ihr Ergebnis?

Ja, ist korrekt.

Vielen vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

14.08.2017, 19:49

HAL 9000

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Es lohnt sich mal ein bisschen qualitativ über das Ergebnis nachzudenken:

Von vornherein ("a priori") ist die Wahrscheinlichkeit 50%, aus Urne 1 zu ziehen (und entsprechend auch 50% aus Urne 2). Dann hat man das Ergebnis, eine gelbe oder blaue Kugel gezogen zu haben. Da in Urne 2 der relative Anteil solcher gelben/blauen Kugeln höher ist als in Urne 1, ist es logisch, dass unter Berücksichtigung dieser Ziehungsinformation sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die ausgewählte Urne in Richtung von Urne 2 verschoben haben: Aus "a priori" 50%/50% werden "a posteriori" 40%/60%.

Bei gegenteiligen Ziehungsergebnis "rote Kugel wurde gezogen" ist es gerade umgekehrt: Aus 50%/50% werden 57%/43% (genauer $\begin{align*} \frac{4}{7} \end{align*}$ zu $\begin{align*} \frac{3}{7} \end{align*}$ ), also eine Verschiebung in die andere Richtung.

14.08.2017, 20:17

franzkafka

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es lohnt sich mal ein bisschen qualitativ über das Ergebnis nachzudenken:

Von vornherein ("a priori") ist die Wahrscheinlichkeit 50%, aus Urne 1 zu ziehen (und entsprechend auch 50% aus Urne 2). Dann hat man das Ergebnis, eine gelbe oder blaue Kugel gezogen zu haben. Da in Urne 2 der relative Anteil solcher gelben/blauen Kugeln höher ist als in Urne 1, ist es logisch, dass unter Berücksichtigung dieser Ziehungsinformation sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die ausgewählte Urne in Richtung von Urne 2 verschoben haben: Aus "a priori" 50%/50% werden "a posteriori" 40%/60%.

Bei gegenteiligen Ziehungsergebnis "rote Kugel wurde gezogen" ist es gerade umgekehrt: Aus 50%/50% werden 57%/43% (genauer $\begin{align*} \frac{4}{7} \end{align*}$ zu $\begin{align*} \frac{3}{7} \end{align*}$ ), also eine Verschiebung in die andere Richtung.

Das stimmt, wirklich interessant! Trotzdem sind mir die Analysis und die analytische Geometrie lieber. Big Laugh

Irgendwie logischer für mich.

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