Gegenbeweis

14.08.2017, 19:13

maha

Gegenbeweis

Meine Frage:
Hallo ich soll Folgende Aufgabe Lösen(Siehe Bild). Ich habe die Aufgabe versucht zu Lösen aber ob die Aufgabe richtig ist weiß ich nicht deswegen würde ich mich freuen wenn ihr eure Meinung dazu sagen könntet.

Meine Ideen:
Also meine Idee ist :

Ich nehme an das es nicht so ist und versuche ein Gegenbeweis zu finden.

Und zwar mit dem Folgendem Weg :

$\begin{eqnarray*} \vec{f}(t) =(t,t^2,\frac{2t^3}{3}) \end{eqnarray*}$ mit t element [0,1] und hier gilt das der Anfangspunkt ungleich dem Endpunkt ist.

dann wäre $\begin{eqnarray*} \frac{\vec{f}(b)-\vec{f}(a) }{b-a} \end{eqnarray*}$ gleich

$\begin{eqnarray*} (1,1,\frac{2}{3}) \end{eqnarray*}$ . So nun muss ich zeigen das zu diesem Vektor es keinen vektor $\begin{eqnarray*} (t,t^2,\frac{2t^3}{3} ) \end{eqnarray*}$ t element [0,1] gibt sodass die Parallel sind.

2 Vektoren sind Parallel zueinander wenn diese Linear Abhängig sind.

Also muss ich zeigen das folgende Lineares Gleichungssystem keine Lösung hat :

$\begin{eqnarray*} (1,1,\frac{2}{3})^T = k*<br /> (t,t^2,\frac{2t^3}{3} )^T \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} 1= k* t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1= k* t^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} = k* \frac{2t^3}{3} \end{eqnarray*}$

und dieses LGS Kann keine Lösung k haben für alle t die es gibt denn (ausser t=1 denn dann ist k=1).

Was sagt ihr dazu ?

14.08.2017, 23:18

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RE: Gegenbeweis
$\begin{eqnarray*} \frac{\vec{f}(b)-\vec{f}(a) }{b-a} \end{eqnarray*}$

da kann man ganz gut ausrechnen

$\begin{eqnarray*} \vec{f}'(t_0) =\begin{pmatrix} 1 \\ 2t_0 \\ 2t_0^2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

linear abhängig

$\begin{eqnarray*} k\begin{pmatrix} 1 \\ 2t_0 \\ 2t_0^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ a+b \\ \frac{2}{3}(a^2+ab+b^2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

k muss was sein?

Lange muss man nicht suchen. Oder?

15.08.2017, 00:35

Maha

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RE: Gegenbeweis
Hast du eigentlich geschaut was ich gemacht habe ? verwirrt

Ich will ja zeigen das es nicht Linear Abhängig ist und somit ein Gegenbeispiel finden für den Satz aber mit meinem Bsp geht das dann wohl nicht .. :/
Hast du eine andere Idee?

15.08.2017, 08:00

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RE: Gegenbeweis
Die Idee ist schon ganz gut

Allerdings brauchst du die Ableitung

$\begin{eqnarray*} \vec{f}'(t_0) \end{eqnarray*}$

15.08.2017, 09:12

Maha

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RE: Gegenbeweis
Soll ich dann den weg nehmen den ich schon davor genommen habe ?
Du hast ja aber gezeigt das es mit diesem Weg nicht geht also brauche ich doch einen anderen Weg..

15.08.2017, 20:37

Maha

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RE: Gegenbeweis
Noch da ? Würde gerne die Aufgabe Lösen...

15.08.2017, 20:48

Maha

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 2t \\ 2t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist doch Linear unabhängig weil es kein K gibt und das für alle t also sind die Vektoren nicht Parallel oder ?

15.08.2017, 20:50

IfindU

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Du willst ja nicht zeigen, dass alle Tangentialvektoren $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ parallel zum Differenzenquotienten sind. Du willst zeigen, dass einen gibt. D.h. du musst zeigen, dass es kein Paar $\begin{eqnarray*} (k, t_0) \end{eqnarray*}$ gibt, so dass die Gleichung erfuellt ist.

15.08.2017, 21:21

Maha

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Genau ich will ja zeigen das dieser Satz nicht gilt...

Und ich habe ja schon hör gezeigt :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 2t \\ 2t^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das diese "Gleichung" Für kein Paar (k,t0) erfüllt ist meine Argumentation dazu ist :

1= k 1 stimmt nur für k=1

Wenn aber k=1 ist dann ist

1= 2t sodass t= 1/2 sein muss

Wenn t=1/2 ist haben wir

2/3= 2* (1/2)^2
2/3= 1/2

Also die Gleichung stimmt dann nicht.
Und für alle anderen paare ist es nicht nötig weiter zu suchen denn
Die 1 Gleichung ist nur erfüllt wenn k=1 ist also muss
Und die 2. Gleichung ist nur dann erfüllt mit der Vorr. K=1 wenn t=1/2 ist...
Also ist doch für kein Paar die Gleichung erfüllt wie ist denn die Argumentation finde die irgendwie überzeugend

15.08.2017, 21:38

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Ja das kann man so machen

15.08.2017, 21:59

Maha

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Ok Dankeschön

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