Extremwertproblem - Wie genau ist die Zimmermannsregel?

14.08.2017, 19:48	Schneeglöckchen07	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertproblem - Wie genau ist die Zimmermannsregel? Meine Frage: Hallo, ich habe hier eine Matheaufgabe, bei der ich nicht so recht weiß, was ich da machen soll... Die Tragfähigkeit von Holzbalken ist proportional zur Balkenbreite b und zum Quadrat der Balkenhöhe h. a) Aus einem zylindrischen Baumstamm mit dem Radius r= 50 cm soll ein Balken maximaler Tragfähigkeit herausgeschnitten werden. Wie sind Breite und Höhe zu wählen? b) Wie genau ist die Zimmermannsregel? Zimmermannsregel: Zeichne auf eine kreisförmige Querschnittsfläche des Baumstammes einen Durchmesser, teile diesen in 3 Teile, ziehe in jedem Teilpunkt die Senkrechte zum Durchmesser, so ergibt sich der gesuchte Balkenquerschnitt. (Bild ist angehängt) Meine Ideen: Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst, als Zielfunktion habe ich: T(b)=kb(10 000 - b^2) Nebenbedingung war, dass h^2= 10 000 - b^2 ist. Am Ende hatte ich dann b= 57,35 cm und h= 81,65 cm. Soweit sollte alles stimmen, das haben wir in der Schule auch schon so verglichen. Aufgabenteil b) ist mein eigentliches Problem, da ich nicht so genau weiß, was ich denn überhaupt machen soll. Wie kann ich den prüfen, wie genau die Regel ist? Was muss ich da miteinander vergleichen?
14.08.2017, 21:07	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Sachaufgabe ? mit $\begin{eqnarray} d=1 m \end{eqnarray}$ stammt der Baumstamm aus dem Regenwald ? Sehr handlich zum Hausbau Ich habe mal in m gerechnet und k=100 gesetzt: mit a= $\begin{eqnarray} \frac 13 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac 23 \end{eqnarray}$ hast du 2 verschiedene Katheten für 2 mal Pythagoras wobei die 2 Kathete jeweils gleich lang ist. Damit kannst du b berechnen. ---> in T einsetzen und mit T(0.5735) vergleichen
14.08.2017, 21:51	Schneeglöckchen07	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, bei mir hat es immer noch nicht Klick gemacht. Wie genau kann ich jetzt b berechnen? In welchen gedachten Dreiecken muss ich Pythagoras anwenden?
14.08.2017, 23:02	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die Dreiecke die einen Punkt als Symbol im rechten Winkel haben $\begin{eqnarray} h^2-(\tfrac 23)^2=b^2-(\tfrac 13)^2 \end{eqnarray}$ klar ? und h lässt sich wie gehabt mit b ausdrücken.
15.08.2017, 04:39	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \underbrace{h^2-(\tfrac 23)^2}_{\text{Kathete x}}=\underbrace {b^2-(\tfrac 13)^2}_{\text{Kathete x}} \end{eqnarray}$ klar ? und h² lässt sich wie gehabt mit b² ausdrücken.

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