Beweis für einen glatten Weg

14.08.2017, 21:23

maha

Beweis für einen glatten Weg

Meine Frage:
Hallo alle zusammen habe folgende Aufgabe. (siehe Bild)
Leider weiß ich nicht wie ich diesen Satz beweisen soll...

Meine Ideen:
Also ich weiß das Vektoren zueinander Senkrecht sind( Orthogonal) wenn das Skalarprodukt 0 ergibt.. aber ich weiß nicht wie ich das hier zeigen soll

14.08.2017, 21:46

10001000Nick1

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Tipp: $\begin{eqnarray*} \langle f(t), f'(t)\rangle =\frac 12 \cdot \frac{d}{dt}\langle f(t), f(t)\rangle \end{eqnarray*}$ smile

14.08.2017, 22:18

Maha

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Also es ist zu zeigen das < f(t) , f'(t)> = 0

Wir fangen an mit <f(t), f'(t)>= <f(t), f(t)> * d/(dt)* 1/2

Ich weiß schon jetzt nicht wie du drauf Kommst verwirrt

14.08.2017, 23:23

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Maha
<f(t), f'(t)>= <f(t), f(t)> * d/(dt)* 1/2

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \langle f(t), f(t) \rangle \end{eqnarray*}$ ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \langle f(t), f(t) \rangle \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , kein Produkt.

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} \langle f(t), f'(t)\rangle =\frac 12 \cdot \frac{d}{dt}\langle f(t), f(t)\rangle \end{eqnarray*}$ folgt aus den Ableitungsregeln für Skalarprodukte: Für zwei vektorwertige differenzierbare Funktionen $\begin{eqnarray*} g, h \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \langle g(t), h(t) \rangle=\langle g'(t), h(t)\rangle + \langle g(t), h'(t)\rangle \end{eqnarray*}$ .

(Ähnlich wie die Produktregel im Eindimensionalen, mit der man das auch nachrechnet)

15.08.2017, 00:45

Maha

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Achso das wusste ich nicht vielen Dank Freude

Ok also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{d}{dt}<f(t),f(t)>= \frac{1}{2} \frac{d}{dt} (f(t)*f(t)) = \frac{1}{2} \frac{d}{dt } f(t)^2 \end{eqnarray*}$

Was könnte ich jetzt machen verwirrt

15.08.2017, 13:26

Maha

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Das ergebni wäre doch einfach f(t) aber das ist ja nicht 0 verwirrt

16.08.2017, 03:22

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ ist ein Vektor. Was meinst du denn mit dem Quadrat eines Vektors?

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seines Betrages: $\begin{eqnarray*} \langle f(t), f(t)\rangle =|f(t)|^2 \end{eqnarray*}$ .
Was weißt du aus der Aufgabe über $\begin{eqnarray*} |f(t)| \end{eqnarray*}$ ?

16.08.2017, 11:22

Maha

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Achso ..

Aus der Aufgabe weiß ich das f(t) auf der Einheitskugel verläuft und da die Einheitskugel die Länge 1 hat muss dann |f(t)|= 1 sein also ist $\begin{eqnarray*} |f(t)|^2 = 1^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{d}{dt} 1 =0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das Big Laugh

17.08.2017, 10:20

Maha

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Ist das Richtig? verwirrt

17.08.2017, 10:30

IfindU

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Da Nick gerade nicht da ist: Das stimmt.

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