Rotationskörper Volumen

15.08.2017, 13:12

Mathe:(

Rotationskörper Volumen

Ahoi,
ich hänge an einer Volumenberechnung eines Rotationskörpers. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Die von der Kurve $\begin{eqnarray*} y=e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$ (x>gleich 0) und ihrer Asymptote begrenzte Figur drehe sich um die y-Achse. Berechnen sie das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers.

Zunächst habe ich mir die Integrationsgrenzen angesehen, dabei bin ich auf von y=0 bis y=1 gekommen.

Danach habe ich die Umkehrfunktion gebildet und habe, diese sollte wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{2}ln(y) \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich mit den Integralgrenzen verfahren soll, wenn ich um die y-Achse integrieren möchte. Ich habe folgenden Ansatz gewählt:

$\begin{eqnarray*} Vy=\frac{\pi}{4}\int_{1}^{1/e} \! ln^{2}(y) \, dy \end{eqnarray*}$

Das Integral aufgelöst ergibt:

$\begin{eqnarray*} Vy=\frac{3\pi}{4e} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis soll jedoch einfach nur pi sein.

Ist mein Ansatz Integral überhaupt richtig aufgestellt? verwirrt

Grüße

15.08.2017, 13:16

klarsoweit

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RE: Rotationskörper Volumen

Zitat:

Original von Mathe
Danach habe ich die Umkehrfunktion gebildet und habe, diese sollte wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{1}{2}ln(y) \end{eqnarray*}$

Wie bist du auf diese Gleichung gekommen?

15.08.2017, 13:23

Mathe:(

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Öhm...

$\begin{eqnarray*} y=e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{y}=e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(\sqrt{y})=-x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln(\sqrt{y})=x \end{eqnarray*}$

Ich habe es so gemacht Big Laugh

15.08.2017, 13:33

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
$\begin{eqnarray*} y=e^{-x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{y}=e^{-x} \end{eqnarray*}$

Und da ist schon der Knackpunkt. Jetzt rechne mal $\begin{eqnarray*} (e^{-x})^2 \end{eqnarray*}$ . Was kommt da raus?

15.08.2017, 13:36

Mathe:(

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habs gerade schon durchgerechnet und gemerkt, dass das ein unterschied ist. 5^3^2 != (5^3)^2

also muss die umkehrfunktion nun wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{-ln(y)} \end{eqnarray*}$

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

15.08.2017, 13:40

klarsoweit

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OK, so paßt's. smile

15.08.2017, 13:42

Mathe:(

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Dann bringt es mich allerdings auch noch nicht aufs ergebnis... habe damit mal weiter gerechnet.

Ich glaube ich habe immer noch etwas bei den Integrationsgrenzen falsch... wie bilde ich diese? verwirrt

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

15.08.2017, 13:51

klarsoweit

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RE: Rotationskörper Volumen
Siehe hier:

Zitat:

Original von Mathe
Zunächst habe ich mir die Integrationsgrenzen angesehen, dabei bin ich auf von y=0 bis y=1 gekommen.

PS: auf die Komplettzitate kannst du gerne verzichten. Augenzwinkern

15.08.2017, 13:58

Mathe:(

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dann habe ich allerdings nach der integration bei y(ln(y)-1) in den grenzen von 0 bis 1 ein problem mit ln(0)?

daher dachte ich, es wäre der falsche ansatz das integral in den grenzen von 0 bis 1 zu nehmen

$\begin{eqnarray*} Vy=-\pi[y(ln(y)-1)] \end{eqnarray*}$

wenn 0*(ln(0)-1) = 0 ist, würde das ergebnis dabei raus kommen.

mein taschenrechner sagt allerdings math error, wenn ich dies teste... wobei 0* irgendwas ja immer null sein sollte? verwirrt

15.08.2017, 14:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
wobei 0* irgendwas ja immer null sein sollte? verwirrt

Das kann man so nicht sagen, denn hinter dem Ganzen steckt ein Grenzübergang bzw. ein uneigentliches Integral:

$\begin{eqnarray*} Vy = \lim_{a \to 0} \pi \cdot \int_{a}^1 -ln(y) ~dy \end{eqnarray*}$

15.08.2017, 14:16

Mathe:(

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okay, dazu muss ich mich nun wohl erstmal belesen, da habe ich so aus dem kopf keinen ansatz für Big Laugh

15.08.2017, 14:26

klarsoweit

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Nun ja, das Integral kannst du ja schon mal ausrechnen. Dann bleibt nur noch die Grenzwertbildung, wobei man in der Tat wissen muß, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x \cdot ln(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. smile

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