Minkowskigitter

16.08.2017, 13:54

Aljazeraalgebra

Minkowskigitter

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .Zeigen sie,dass

$\begin{eqnarray*} \Gamma:=\left\{x \in \mathbb Z^n;\sum\limits_{j=1}^{n} x_j \equiv 0 (mod 2) \right\} \end{eqnarray*}$ ein Gitter ist. Geben Sie eine Basis für
$\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ an und berechnen Sie $\begin{eqnarray*} vol(\Gamma) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Hi menschen,

Also laut per Definiton im Skript, Es heißt eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} \Gamma \subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ein Gitter ,wenn es lin.unab. Vekotren $\begin{eqnarray*} b_{1},...,b_{n} \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gibt mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \Gamma= \mathbb Zb_1+....+\mathbb Zb_n \end{eqnarray*}$ .

Also muss ich doch zeigen,wenn es ein gitter ist,dass es basis gibt mit der ich das Gitter erzeugen kann.

ich weiss,dass die summer der polynome $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=1}^{n} x_j \end{eqnarray*}$ gerade sein muss,weil sonst ist es ja nicht kongruent $\begin{eqnarray*} 0 mod 2. \end{eqnarray*}$
also muss z.bsp für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ die summe $\begin{eqnarray*} 2x_1 \end{eqnarray*}$ sein ,damit $\begin{eqnarray*} 2x_1 \equiv 0 (mod 2) \end{eqnarray*}$ gilt. Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ muss es ja $\begin{eqnarray*} 2x_1+2x_2 \end{eqnarray*}$ sein , also $\begin{eqnarray*} 2e_1x_1+2e_2x_2 \end{eqnarray*}$ sein oder?

Danke für die Hilfe im Vorraus

16.08.2017, 14:04

Elvis

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Mit deinen Beispielen kommst du nicht weit.
Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ bilden alle geraden Zahlen ein Gitter, $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist eine Basis.
Für $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ liegen nicht nur Vektoren mit geraden Komponenten im Gitter sondern z.B. auch $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ besteht aus allen Vektoren, die entweder 2 gerade oder 2 ungerade Komponenten haben. Eine Skizze lässt sofort eine Basis des Gitters erkennen.

Für $\begin{eqnarray*} n>2 \end{eqnarray*}$ sind die Mengen noch etwas allgemeiner ... muss man wissen, wie die Elemente aussehen, um die Aufgabe zu bearbeiten ?

Ich vermute, dass für $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ eine Gitterbasis aus Vektoren aufgebaut werden kann, die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Komponenten $\begin{eqnarray*} x_j\in \{\pm 1,0\} \end{eqnarray*}$ enthalten.

17.08.2017, 12:50

Aljazeraalgebra

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hi Elvis

ich habe gestern den ganzen rest Tag über deine Hinweise nachgedacht und ich bin zu nichts gekommen.

"Für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ bilden alle geraden Zahlen ein Gitter, $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist eine Basis."
Hier reden wir doch von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^1 \end{eqnarray*}$ oder?

Mein Kumpel und ich sind auf die von Basis von $\begin{eqnarray*} \Gamma:=2e_1 \mathbb Z^n + (e_1 + e_2) \mathbb Z^n +...+ (e_1 + e_n) \mathbb Z^n \end{eqnarray*}$ ,jedoch haben wir diese information auch nur aus gesprächen abgekupfert und versuche uns jetzt klar zusammen,ob das eine Lösung sein kann.

kannst du helfen?:/

in diesem Sinne Love me tender Elvis Big Laugh

17.08.2017, 13:46

Elvis

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$\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ ist einfach, denn $\begin{eqnarray*} \Gamma=\{x\in \mathbb Z:x\equiv 0(mod\;2)\}=2\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Was du als eine Basis von $\begin{eqnarray*} \Gamma_n \end{eqnarray*}$ angibst, ist keine, denn man kann Einheitsvektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ nicht mit Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^n \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

Wenn wir $\begin{eqnarray*} \mathbb Z^n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ersetzen, wird $\begin{eqnarray*} \Gamma_2=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}\mathbb Z+\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .Das kann ich bestätigen, ich hätte aber die Darstellung $\begin{eqnarray*} \Gamma_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\mathbb Z+\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\mathbb Z \end{eqnarray*}$ vorgezogen, weil das ein quadratisches Gitter ist und so die Geometrie deutlicher wird.

Deine allgemeine Basis ist auch deswegen nicht möglich, weil $\begin{eqnarray*} e_1+e_2+e_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Bedingung für $\begin{eqnarray*} \Gamma_3 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt, denn $\begin{eqnarray*} 1+1+1\equiv1 (mod\;2) \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \Gamma_3 \end{eqnarray*}$ ist vermutlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis.

Mir scheint, das man für n>2 eine Basis aus Einheitsvektoren konstruieren kann, aber wie genau, weiß ich auch noch nicht. Vermutlich muss man nur n linear unabhängige Vektoren nehmen, die je 2 Komponenten 1 und alle anderen Komponenten 0 haben. Bitte diese Vermutung zu verifizieren oder zu falsifizieren.

17.08.2017, 13:50

HAL 9000

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Hmm Elvis, Kontra: $\begin{align*} (e_1+e_k) \end{align*}$ für $\begin{align*} k=1,\ldots,n \end{align*}$ ist sehr wohl als Basis geeignet. verwirrt

17.08.2017, 13:59

Elvis

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Ich habe mich vertan, ich habe Pünktchen gesehen, wo keine stehen und so $\begin{eqnarray*} e_1+...+e_3 \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} e_1+e_3 \end{eqnarray*}$ gelesen. Bitte mein Missgeschick zu entschuldigen. Zumindest ist meine Vermutung bestätigt, und alles ist gut. Wink

17.08.2017, 14:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Aljazeraalgebra (korrigiert)
Mein Kumpel und ich sind auf die von Basis von $\begin{eqnarray*} \Gamma:=2e_1 \mathbb Z + (e_1 + e_2) \mathbb Z +...+ (e_1 + e_n) \mathbb Z \end{eqnarray*}$ [...] und versuche uns jetzt klar zusammen,ob das eine Lösung sein kann.

Im wesentlichen musst du ja nur noch nachweisen, dass du jedes $\begin{align*} x = \sum_{k=1}^n x_ke_k \in\Gamma \end{align*}$ mit deiner Basis darstellen kannst, d.h., dass es ganze Zahlen $\begin{align*} a_1,\ldots,a_n \end{align*}$ mit

$\begin{align*} x = \sum_{k=1}^n a_k (e_1+e_k) \end{align*}$

gibt. Die Werte $\begin{align*} a_2,\ldots,a_n \end{align*}$ sollten unmittelbar klar sein, und $\begin{align*} a_1 \end{align*}$ ist nach kleiner Zwischenrechnung auch angebbar. Augenzwinkern

19.08.2017, 09:53

Elvis

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Das Volumen der Grundmasche fehlt noch. Ist das (unabhängig von n>1) immer gleich 2 ?

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