Polardarstellung - Seite 2

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18.08.2017, 18:43

Maha

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Kannst du mir noch ein Tipp geben für die Parameterdarstellung? Mit dieser habe ich meistens Schwierigkeiten

18.08.2017, 18:48

HAL 9000

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Wovon redest du? Welche Parameterdarstellung? Ich dachte, wir waren fertig mit der Aufgabe!

18.08.2017, 19:27

Maha

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Das war der Aufgabenteil a)
der Aufgabenteil b ist : Geben sie eine geeignete Parameterdarstellung an

deswegen habe ich gefragt gehabt

18.08.2017, 19:33

HAL 9000

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Na das ist doch kein Problem - nimm doch einfach $\begin{align*} \varphi \end{align*}$ als Parameter, dann hast du mit $\begin{align*} x(\varphi)=r(\varphi)\cdot\cos(\varphi) \end{align*}$ und $\begin{align*} y(\varphi)=r(\varphi)\cdot\sin(\varphi) \end{align*}$ doch bereits eine solche Parameterdarstellung vorliegen.

18.08.2017, 19:34

Dopap

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die Parameterdarstellung findest du beim vorigen parametricplot Augenzwinkern

Einfach auf ZITAT drücken dann ist es leserlich.

18.08.2017, 19:42

Dopap

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Du solltest die Aufgaben durchnummerieren und für jede einen neuen Thread erstellen. So wurde es jedenfalls bisher gehandhabt.

18.08.2017, 20:12

Maha

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achso ok

ohman was würde ich nur ohne euch tun unglücklich

vielen Dank wirklich ! smile

ich soll nun in c) Die Implizite Differentiation y' berechnen..

Meine Lösung dazu wäre :

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} ((x^2+y^2)^2-a^2(x^2-y^2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'*8*xy(x^2+y^2)-a^2*(2x-2y*y')) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'* 8x^3y+ y'* 8xy^3-a^2* 2x- a^2*2y*y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'* (8x^3y+ 8xy^3- a^2*2y) -a^2* 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'* (8x^3y+ 8xy^3- a^2*2y) = a^2* 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{a^2* 2x }{(8x^3y+ 8xy^3- a^2*2y)} \end{eqnarray*}$

Es sieht komisch aus aber ich trau mich mal trotzdem zu fragen ist das richtig ...?

18.08.2017, 20:14

Maha

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achso Dopap tut mir leid habe das erst jetzt gelesen ich mache das dann nach der Aufgabe tut mir sehr leid..

18.08.2017, 21:44

mYthos

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Es sieht nicht nur komisch aus, sondern ist zudem auch leider falsch.
Die Ableitung des ersten Summanden ist arg danebengegangen.
Außerdem fehlt auf der rechten Seite überall .. = 0

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} (x^2 + y^2)^2 \end{eqnarray*}$ geschieht weit vorteilhafter nach der Kettenregel:

$\begin{eqnarray*} \frac d {dx} (x^2+y^2)^2 = 2(x^2 + y^2) \cdot (2x + 2yy') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

---------------------------

Diese Aufgabe machen wir hier noch fertig, weitere neue Aufgaben bitte in einem gesonderten Thread posten!

mY+

18.08.2017, 22:01

mYthos

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Übrigens, der Graph gelingt in Geogebra besser als mit dem Funktionenplotter hier.

[attach]45109[/attach]

mY+

19.08.2017, 10:07

Maha

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Okay. schade..

$\begin{eqnarray*} 2 (x^2+y^2) *( 2x+2yy') -a^2 *(2x-2yy')=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ( 2 x^2+2y^2) *( 2x+2yy') -a^2 *2x +a^22yy'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x^3 + 4x^2yy' +4xy^2 +4y^3y'-a^2 *2x +a^22yy'=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(4x^2y+4y^3+a^2*2*y) +4x^3 + 4xy^2 -a^2 *2x =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(4x^2y+4y^3+a^2*2*y) =-4x^3 - 4xy^2 +a^2 *2x \end{eqnarray*}$

Stimmt das bis jetzt?

19.08.2017, 13:18

mYthos

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Ja, das sieht jetzt gut aus! smile

Berechne nun $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$
Das Thema gab es auch schon früher:

--> https://www.matheboard.de/thread.php?postid=2080540

Dort war $\begin{eqnarray*} a^2 = 2 \end{eqnarray*}$

mY+

19.08.2017, 13:44

Maha

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also das ist doch dann einfach nur nach y' umgestellt also :

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{-4x^3-4xy^2+a^2*2x}{4x^2y+4y^3+a^2*2y} \end{eqnarray*}$

im grunde bin ich doch jetzt fertig mit der Ableitung oder verwirrt

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{4*(-x^3-xy^2)+a^2*2x}{4(x^2y+y^3)+a^2*2y} \end{eqnarray*}$

was kann ich ansonsten noch machen?

19.08.2017, 14:13

mYthos

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Einiges! Den Bruch durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ kürzen, $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Zähler und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ im Nenner ausklammern und vielleicht teilweise zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{x(a^2-2(x^2+y^2))}{y(a^2+2(x^2+y^2))} \end{eqnarray*}$

Diese Schreibweise kann dann bei der Berechnung von kritischen Punkten (waagrechte und vertikale Tangenten, etc.) von Vorteil sein.
Dies hättest du auch aus dem zitierten früheren Thread entnehmen können (!)

mY+

19.08.2017, 14:38

Maha

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ok danke

es gibt noch ein Aufgabenteil soll ich das dann hier posten oder einen neuen Beitrag erstellen ?

19.08.2017, 22:54

mYthos

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Wenn es dieselbe (unterteilte) Aufgabe betrifft, dann noch hier, andernfalls bitte ein neues Thema.

mY+

20.08.2017, 10:31

Maha

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Es ist die Letzte teilaufgabe zu dieser Aufgabe :

d) Berechnen Sie y' aus der Parameterdarstellung (b).

Also die Parameterdarstellung war :

$\begin{eqnarray*} x(\phi)= r(\phi) cos(\phi ) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y(\phi)= r(\phi) sin(\phi ) \end{eqnarray*}$

so nun die Ableitung ..

$\begin{eqnarray*} y'= \frac{y'}{x'} \end{eqnarray*}$ =

Die Ableitung von y also $\begin{eqnarray*} y(\phi)= a*\sqrt{cos(\phi)^2-sin(\phi)^2} *sin(\phi) \end{eqnarray*}$

ist : $\begin{eqnarray*} y'(\phi)= \frac{a*cos(x)^3-3a*cos(x)*sin(x)^2}{\sqrt{cos(x)^2-sin(x)^2} } \end{eqnarray*}$

und die Ableitung für x(phi) :

$\begin{eqnarray*} x'(\phi)= \frac{a*sin(x)^3-3a*cos(x)^2*sin(x)}{\sqrt{cos(x)^2-sin(x)^2} } \end{eqnarray*}$

stimmt das erstmal verwirrt

wenn ja wäre die gesamte Ableitung zusammengefasst einfach der quotient von der Ableitung y durch ableitung x stimmt das ?

20.08.2017, 13:44

mYthos

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Im Wesentlichen ist das alles richtig, bis auf eines:
In den Ableitungen hat anstatt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ selbstverständlich $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ zu stehen.

Bevor du den den Quotienten bildest, klammere bei den Zählern der beiden Brüche $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ aus (was geschieht damit?) und denke an die Additionstheoreme für $\begin{eqnarray*} \sin(3x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(3x) \end{eqnarray*}$ (!)
Und die gleichen Nenner heben sich beim Quotienten auf.

mY+

20.08.2017, 14:20

Maha

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$\begin{eqnarray*} \frac {a(cos(x)^3-3cos(x)sin(x)^2}{\sqrt{cos(x)^2-sin(x)^2}} \cdot \frac {\sqrt{cos(x)^2-sin(x)^2}}{a*(sin(x)^3-3*cos(x)^2*sin(x))} \end{eqnarray*}$

Wir können nun Kürzen und erhalten :

$\begin{eqnarray*} \frac{cos(x)^3-3cos(x)*sin(x)^2}{sin(x)^3-3*cos(x)^2*sin(x) } \end{eqnarray*}$

wie soll ich die Add.Theoreme anwenden ? verwirrt

es gilt $\begin{eqnarray*} sin(3x)= 3*sin(x)-4*sin(x)^3 \end{eqnarray*}$

und das habe ich nirgends stehen ..

Edit (mY+): LaTeX berichtigt und Tags eingefügt!

20.08.2017, 16:40

Dopap

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Zitat:

Original von Maha
...
es gilt $\begin{eqnarray*} sin(3x)= 3*sin(x)-4*sin(x)^3 \end{eqnarray*}$

und das habe ich nirgends stehen ..

das ist aber schade. Tut mir leid ! Eventuell helfen kleine Umformungen?

es gibt UNTEN DIE VORSCHAU - Funktion. Nichtlesbares Latex zu posten geht nicht.
Hier lag es daran, dass Sternchen (*) kein Malzeichen ist, korrekt ist \cdot

20.08.2017, 17:54

mYthos

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Zitat:

Original von Maha
...
es gilt $\begin{eqnarray*} sin(3x)= 3*sin(x)-4*sin(x)^3 \end{eqnarray*}$

und das habe ich nirgends stehen ..
...

Doch, allerdings ein wenig versteckt. Forme noch ein wenig um! Es ist

$\begin{eqnarray*} \sin^3 x - 3 \sin x \cos^2 x = -3 \sin x + 4\sin^3 x = -\sin 3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos^3 x - 3 \sin^2 x \cos x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x = \cos 3x \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------------------------------------------
Der Nenner deines Resultates ist also $\begin{eqnarray*} -\sin 3x \end{eqnarray*}$ .

mY+

20.08.2017, 18:06

Maha

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Tut mir leid wenn ich jetzt so blöd frage .. aber wie kommst du auf:

Zitat:

Doch, allerdings ein wenig versteckt. Forme noch ein wenig um! Es ist $\begin{eqnarray*} -\sin 3x = \sin^3 x - 3 \sin x \cos^2 x = -3 \sin x + 4\sin^3 x \end{eqnarray*}$

Wieso wird aus sin^3 x aufeinmal 4 sin^3 x und der Cosinus wird weggelassen?

Genauso wie bei cos(3x) ...
kann das nicht so nachvollziehen

20.08.2017, 18:17

mYthos

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Trigonometrischer Pythagoras! Damit entsprechend ersetzen, um in nur einer einzigen trigonometrischen Funktion zu schreiben.

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos^2 x = 1 - \sin^2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sin^2 x = 1 - \cos^2x \end{eqnarray*}$
--------------------------------

Klar?

mY+

20.08.2017, 18:59

Maha

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Jaa jetzt habe ich das verstanden vielen dank Big Laugh

du warst echt sehr geduldig mit mir dankeschön smile

20.08.2017, 19:14

mYthos

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Fein.

Die Ableitung lautet also schlussendlich

$\begin{eqnarray*} y \ ' = - \frac{\cos 3 \phi}{\sin 3 \phi} = - \frac 1 {\tan 3 \phi} \end{eqnarray*}$

mY+

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