Polardarstellung

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Maha Auf diesen Beitrag antworten »
Polardarstellung
Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe kleine Aufgaben die ich immer selber löse aber ob die so richtig sind wie ich die mache weiß ich nie... Leider haben wir keine Lösung von unserem Prof bekommen.

Also die 1.Aufgabe wäre :

Geben sie die durch die Gleichungen x=a bzw. y=a (a>0 oder a<0) gegebene Kurven in Polarkordinaten an.

Meine Ideen:
Also die Aufgabe ist ziemlich einfach (überrascht) denke ich meine Lösung wäre:

x= r*cos(phi)
y= r* sin(phi)

Mit phi= arctan(y/x) und r= sqrt(x^2+a^2) bzw. r= sqrt( y^2+a^2)
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das ist die Funktion vom Typ

x, y haben da nichts verloren.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe ..

Also r= r cos(phi)

Und r=r sin(phi)

So ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Blieben wir zunächst mal bei :

Da ist zu erfüllen, umgestellt ergibt dies .

Nun ist stets zu sichern, das hat (je nach Vorzeichen von ) Konsequenzen für den zu betrachtenden Winkelbereich für , der umfasst dann nämlich nur einen Teil des Vollwinkelbereichs, und dieser Teil ist mit anzugeben!

Hinsichtlich ist lediglich zu überprüfen, ob für die gefundene Darstellung und den zugehörigen Winkelbereich der Wert die gesamten reellen Zahlen durchläuft, d.h., die Gerade auch tatsächlich komplett ist.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Wir haben also Umgeformt wie du schon schriebst :



r muss nun natürlich >=0 sein da r definiert ist als :


Damit r>=0 ist muss entweder der Zähler >0 sein und der Nenner >0. oder Nenner und Zähler sind <0.

Wenn a>0 ist dann muss sein. Die Cosinus Funktion ist für Positiv.
Das heißt der Winkel phi muss vom angegebenen Intervall sein..

Für a<0 muss der Winkel phi Element von (pi/2 , (3pi/2) ) sein.




Stimmt das überhaupt oder ist das nur Mist was ich hier schreibe ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
Umgeformt wie du schon schriebst :

Nein!!! So habe ich das nicht geschrieben, sondern nur , das ist NICHT gleich . Forum Kloppe

-------------------------------------

Was die Winkelintervalle betrifft, stimmen die zwar im wesentlichen, aber an den Rändern bist du schlampig:

im Nenner gehört nicht mit zum Bereich (Division durch Null!), es ist also

Fall :

Fall :
 
 
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Achso stimmt das habe ich nicht beachtet :/

Ich frage mich nun wie ich das gehen soll für y..

Nehmen wir mal den Fall a>0

Für daraus Folgt


Das Problem wäre doch : hier müssen wir ja auch r>=0 sichern und der Sinus ist für
Positiv.

Aber der Cos wäre ab Pi/2 nicht mehr Positiv also passt das irgendwie nicht muss ich also für Sinus den Winkel phi eingrenzen zu (0,Pi/2) ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
Das Problem wäre doch : hier müssen wir ja auch r>=0 sichern und der Sinus ist für Positiv.

Richtig, und für ist der Sinus negativ. Wo also siehst du hier was prinzipiell anders als bei der ersten Teilaufgabe? Augenzwinkern


Was den x-Teil und damit verbunden den Kosinus betrifft, so gilt ähnliches wie ich es schon oben bei der ersten Teilaufgabe gesagt hatte:

Zitat:
Original von HAL 9000
Hinsichtlich ist lediglich zu überprüfen, ob für die gefundene Darstellung und den zugehörigen Winkelbereich der Wert die gesamten reellen Zahlen durchläuft, d.h., die Gerade auch tatsächlich komplett ist.

nur diesmal mit vertauschten Rollen und .
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ne dumme Frage : Das was in der Aufgabe gegeben ist ist doch EINE gerade oder nicht ?

Ich verstehe leider nicht was du mit dem 2 Teil meinst .. verwirrt

Also ich muss doch sicher gehen das r>=0 gilt in beiden Fällen und wenn ich phi (0,Pi) bei Sinus zulasse dann ist doch ab (pi/2,pi) cosinus negativ also wäre cosinus dann nicht mehr positiv .. deshalb habe ich überlegt für a>0
Lasse ich den Intervall für phi nur bis (0,Pi/2) zu denn dann wäre Sinus und cosinus aufjedenfall positiv und somit r>=0
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
Mal ne dumme Frage : Das was in der Aufgabe gegeben ist ist doch EINE gerade oder nicht ?

Nein: ist eine Gerade



und eine andere



(die Plots sind jeweils für angelegt). Jetzt verstehe ich, dass einige deiner eher seltsamen Anmerkungen aus dieser Fehldeutung "eine Gerade" resultieren...


Die gemeinsame Forderung erfüllt ja nur der einzelne Punkt , da ist ja irgendwie ziemlich sinnfrei, von Kurven zu sprechen...
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Achso verstehe ich super vielen Dank smile

Zitat:
Original von HAL 9000 Hinsichtlich y ist lediglich zu überprüfen, ob für die gefundene Darstellung r(Æ)=acos(Æ) und den zugehörigen Winkelbereich der Wert y=r(Æ)&#8901;sin(Æ) die gesamten reellen Zahlen durchläuft, d.h., die Gerade x=a auch tatsächlich komplett ist.


Nur wie kann ich das noch überprüfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na einfach mal anschauen:



Was macht nun der Tangens in den von dir angegebenen Intervallen? Richtig, er nimmt alle reellen Zahlen als Werte an, genau das was wir brauchen.

Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ich verstehe das jetzt vielen Dank smile

Also im 2 Teil wäre wie schon gesagt r= Für

Nun müssen wir noch prüfen ob alle x getroffen werden also x= =

Und der letzte Term nimmt im Intervall (0,Pi) alle reellen zahlen an. Ist das Richtig?
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Aufgabe habe ich jetzt soweit verstanden und dafür Danke !

Ich habe noch eine Aufgabe:

Die Astroide hat die Gleichung latex] x^(2/3 )+ y^(2/3 )= a^(2/3) [/latex] geben Sie eine geeignete Parameterdarstellung an :

Tipp: x(t) = a* cos(t)^3



Also ich wollte fragen wie ich bei so Aufgaben vorgehen soll ?
Ich habe mich im Internet etwas schlau gemacht und da machen die das ganz einfach
y= 2x^2 die Parameterdarstellung ist x(t) = 2t^2

Und ich kenne das auch so das man anhand einer Skizze die Parametisierung durchführen kann und zwar stückweise ..

Aber mir fehlt irgendwie ein Ansatz wie ich das machen könnte in der Aufgabe .. ich kann ja nicht einfach x mit t ersetzen und dann sagen das ist die parametisierung ..

Meine Idee wäre die Gleichung in die Explizite Form umzuschreiben und dann für x = t einzusetzen was haltet ihr von dieser Idee ?
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Kann einer meine Frage. Beantworten ? verwirrt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

x=t ist ja nur eine Umbenennung der unabhängigen Variablen. In einfachen Fällen geht das.

Eine Funktionsdarstellung einer Relation ist eben nicht immer möglich. Das bemerkt man schon am parametrisieren Kreis.



Eine Funktionsdarstellung gibt es nur für Halbkreise.

Aber: ein Vorschlag ist ja freundlicherweise gestellt worden.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ein Vorschlag bzw tipp wurde gegeben nur weiß ich nicht warum?
Wie kommt man denn auf cos(t)^3 *a ? verwirrt
Wäre die Idee von mir falsch die funktion einfach nach y umzuformen ?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Übung !

das ist eine Relation und keine Funktion. Die kann man nicht hoppla hopp in eine Funktion umrechnen. Das sagt schon der Satz:
Eine Funktion ist eine linkstotale rechtseindeutige Relation. Und, liegt das vor??

Setz' doch einfach mal den Tipp ein.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Also soll ich für x = a*cos(t)^3 einsetzen?

Also etwa so ?
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Oder habe ich was falsch verstanden ? :/
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
Also soll ich für x = a*cos(t)^3 einsetzen?

Also etwa so


Ja was denn sonst verwirrt
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das wäre ja dann nichts anderes als :




Und die Gleichung geteilt durch a^(2/3) wäre dann



Und ja weiter weiß ich nicht mehr wobei ich nicht mal weiß nach was ich jz umformen soll oder was das Ziel ist..
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt nach y umstellen (eventuell noch 1-(cos(t))²=... verwenden).

Dann hast Du y(t) und x(t).

Viele Grüße
Steffen
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

warum nimmst du nicht per ZITAT mein Latex und editierst das ?

Das Ziel ist doch (ist als Tipp vorgegeben ) und dann noch nach

umstellen.

edit: siehe oben
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Danke







Also ist y(t)= sin(t)^3 * a.

Super vielen Lieben Dank.

Die nächste Aufgabe an die ich mich gemacht habe :

Schreiben sie die folgende Gleichung in Polarkordinaten um





Meine Vorgehensweise :

Ich habe für x= r*cos(phi) und für y= r*sin(phi)

Eingesetzt

Also habe ich dann raus :








Und ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter..
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Aus der vorletzten Zeile folgt zumindest unmittelbar .

Du hast jetzt noch den Nenner verändert, du solltest mal noch ein wenig erläutern, was du da getan hast... Ansonsten bist du doch damit fertig, eigentlich schon mit (*), d.h., du hast die Polardarstellung gefunden! Insofern ist mir deine Frage

Zitat:
Original von Maha
Und ab hier weiß ich leider nicht mehr weiter..

ein Rätsel. Erstaunt1
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ok stimmt hast recht smile

Ich habe mich dann an die nächste Aufgabe getan :

Die Strophoide hat die Parameterdarstellung

,

a) Geben Sie die Darstellung in Kartesichen Kordinaten an
b) Geben Sie die Darstellung in Polarkordinaten an


Zu a)

Meine Idee ist es die 1. Gleichung nach t aufzulösen und in die 2 Gleichung einzusetzen also :



=

=

=

=

=

=

Dies Wollte ich Jz in die 2Gleichung einsetzen bevor ich das tue ist das Richtig also die Idee ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
=

=

Über diese "Umformung" (?!) würde ich an deiner Stelle nochmal nachdenken. unglücklich
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sehe den Fehler :/



=

Was könnte ich jz machen bin echt planlos
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

@maha : man sollte seine Algebra-Fähigkeiten einschätzen können und

Kehrbruch mal 2 von Summe aus Bruch und Zahl ist wohl an einem Stück zu viel des Guten.
Was nützt dir die Gedankenakrobatik wenn diese laufend Fehler produziert ?
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

@Dopap: Keine Sorge ich bin mir meinen Algebraischen Fähigkeiten bewusst ! Fehler passieren nun mal und genau deswegen bin ich auch hier weil ich keine Lösungen oder ähnliches habe muss ich meine Lösungen Leuten zeigen die mehr Erfahrung haben damit Sie mir sagen Können ob das ok ist Augenzwinkern

@Hal9000 :




=

=

=

=


So ok jetzt ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha


=

Das tut jetzt wirklich ziemlich weh beim Zuschauen. Aber ich sag jetzt mal nichts mehr dazu, hab mir dazu an anderer Stelle oft genug den Mund verbrannt.

Weiter oben angesetzt würde ich so fortfahren



Und jetzt gibt es die zwei Zweige sowie . Was in der Konsequenz zwei Funktionsgraphen sowie ergibt.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank und tut mir leid für meine Fehler ich werde versuchen beim nächsten mal alles Gründlich zu machen.Das plus sollte natürlich ein "*" sein.. Tippfehler...

Nun soll ich ja im Aufgabenteil b) die Darstellung Polarkordinaten angeben..


Also dazu habe ich mir folgendes überlegt:

Es gilt ja das r= Und die Parameterdarstellung wäre davon

x(t)= r(phi) cos(phi) , y(t)= r(phi) sin(phi)


Nun in der Aufgabe ist ja die Parameterdarstellung x(t)=

Und y(t)=

Ich habe mir jetzt gedacht das ich für x = r*cos(phi ) einsetze also :



=

Stimmt das ... ? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Parameter ist geeignet in den Winkel umzurechnen. Und da bietet sich



an, wo man rechts nun die Parameterdarstellungen sowie einsetzt und vereinfacht.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ok das ist sehr gut aber wie kommst du darauf ? Ich will das auch können.. :/




= phi= arctan(t)

Und das ist jetzt die Darstellung in Polarkordinaten?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

[/latex]umständlicher geht es nicht. Jetzt sollte umfangreiches Kürzen anstehen.
Schaut man sich die Parameterdarstellung

an, dann sollte irgendwie ins Auge stechen. Demnach gilt



Also nicht immer stur nach Schema F vorgehen.

Jetzt bliebe noch der Radius - in Abhängigkeit von - zu bestimmen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Maha
Und das ist jetzt die Darstellung in Polarkordinaten?

Mann, hast du ein schlechtes Kurzzeitgedächtnis! Die Polarkoordinatendarstellung der Kurve ist , wie oben auch schon mehrfach gehabt. Bisher war das nur das hier:

Zitat:
Original von HAL 9000
Der Parameter ist geeignet in den Winkel umzurechnen.

Jetzt wird das in eine der beiden Koordinatengleichungen eingesetzt, z.B. x:





Könnte man so stehen lassen. Wenn man ein gewisses Faible für Vereinfachungen hat, würde man sich noch etwas reinknien und dann erst mit



zufrieden sein.
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry :/


Ich hoffe wenigstens das ich die nächste Aufgabe richtig gemacht habe..

Die Aufgabe :

Die Lemniskate hat die Gleichung

a) Geben Sie die Darstellung in Polarkordinaten an

Meine Lösung :
















Stimmt das ? :/
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz: ist ja immer positiv, es ist demnach (bei angenommen positiven Parameter ) einfach

.

Es kommen aber nur Winkel in Frage, für die ist.



(In der Mitte "knickt" der Plotter leider ein, leider kann ich hier nicht die Stützpunktanzahl steuern.)
Maha Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte ja auch einfach schreiben für alle (cos(phi)^2 -sin(phi)^2 ) >=0
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