Umformung Varianz - lineare Regression

17.08.2017, 22:25	matheman^2	Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung Varianz - lineare Regression Meine Frage: Hallo liebe Mathefreunde, ich habe eine Frage bezüglich einer Umformung einer Varianz im Rahmen einer linearen Regression. Regressionsmodell: $\begin{eqnarray} y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{i} + u_{i} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \beta_{0} = 1/n \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta_{1} = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (y_{i}-y)(x_{i}-x)}{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}-x)^2} \end{eqnarray}$ Nun ist es meine Aufgabe die Varianz von $\begin{eqnarray} \beta_{1} \end{eqnarray}$ über die Summenschreibweise zu ermitteln und zu zeigen, dass diese sich wie folgt darstellen lässt: $\begin{eqnarray} \frac{{\sigma}^2}{{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}-x)^2}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Meine Ansatz sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} Var(\beta_{1}) = Var(\frac{\sum\limits_{i=1}^{n} (y_{i}-y)(x_{i}-x)}{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}-x)^2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Var(\beta_{1}) = (\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}-x)^2})^2 Var(\sum\limits_{i=1}^{n} (y_{i}-y)(x_{i}-x)) \end{eqnarray}$ Anschließend würde ich den Verschiebungssatz anwenden, aber danach komme ich nicht mehr weiter, da ich nicht sagen kann, ob man die Regeln für die Summe von Varianzen anwenden kann. $\begin{eqnarray} Var(\beta_{1}) = (\frac{1}{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_{i}-x)^2})^2 Var(\sum\limits_{i=1}^{n} (y_{i}x_{i}) - \sum\limits_{i=1}^{n}x_{i} \sum\limits_{i=1}^{n}y_{i}/n) \end{eqnarray}$ Ich bin für jede Hilfe dankbar, das muss ich nicht explizit vorgerechnet werden. Mir reicht auch eine verbale Erläuterung. Vielen lieben Dank
18.08.2017, 09:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung Varianz - lineare Regression Da fallen zunächst einige Unterlassungen, Unsauberkeiten sowie auch Formelfehler in deiner Darstellung des Regressionsmodells auf: Offenbar redest du über $\begin{align} Y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + U_i \end{align}$ mit deterministischen $\begin{align} x_i \end{align}$ sowie zufälligen $\begin{align} Y_i,U_i \end{align}$ , wobei wir vermutlich $\begin{align} U_i\sim \mathcal{N}(0,\sigma^2) \end{align}$ als Modellannahme haben. Die Formeln zur Berechnung der Parameter stellen nicht die $\begin{align} \beta_i \end{align}$ dar, sondern Schätzungen davon, d.h., es sollte korrekterweise $\begin{align} \hat\beta_1 &= \frac{\sum\limits_{i=1}^n (Y_i-\bar{Y})(x_i-\bar{x})}{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}<br /> \hat\beta_0 &= \bar{Y} - \hat\beta_1\bar{x} \end{align}$ heißen, mit $\begin{align} \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \end{align}$ und $\begin{align} \bar{Y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i \end{align}$ (deinen Fehler bei $\begin{align} \hat\beta_0 \end{align}$ habe ich noch korrigiert). Diese Unterscheidung zwischen tatsächlichen (deterministischen) Parametern $\begin{align} \beta_i \end{align}$ und deren Schätzungen (welche Zufallsgrößen sind) $\begin{align} \hat{\beta}_i \end{align}$ ist essentiell zum Verständnis, sonst machen doch solche Fragen nach Erwartungswert bzw. Varianz der Schätzer gar keinen Sinn!!! Vor der Berechnung der Varianz $\begin{align} \operatorname{Var}\left( \hat\beta_1 \right) \end{align}$ würde ich dir zunächst mal zum Training die einfachere Berechnung des Erwartungswerts $\begin{align} E\left( \hat\beta_1 \right) \end{align}$ empfehlen: Wie würde die hier aussehen?

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