Partiell diffbar, stetig ergänzbar

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pauly1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Partiell diffbar, stetig ergänzbar
Hallo Community,

ich brauche Hilfe für eine Aufgabe, bei der ich nicht sicher bin, ob ich sie richtig angehe. Mir bereiten die mehrfachen Variablen Probleme.

Die Aufgabe:

Sei definiert durch :



Zeigen Sie, dass f an 0 durch 0 stetig ergänzt werden kann. Diese stetige Ergänzung nennen wir ebenfalls f. Zeigen Sie, dass f an 0 partiell differenzierbar, jedoch nicht differenzierbar ist.



Also 1. z.z. f an 0 durch 0 stetig ergänzbar.

f ist stetig ergänzbar, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren.

geht gegen unendlich
und der Zähler gegen 0.

Somit ist die Funktion an 0 mit 0 stetig ergänzbar.


2.z.z. partiell diff'bar, jedoch nicht differenzierbar

z.z. existiert , wobei a ein Vektor und e_k ein Einheitsvektor ist.



Daraus folgt, dass f partiell diffbar ist.

Wie zeige ich nun das es nicht differenzierbar ist? Bzw. ist das, was ich bisher gemacht habe richtig?

Danke schon mal!
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partiell diffbar, stetig ergänzbar
Zitat:
Original von pauly1992
f ist stetig ergänzbar, wenn der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert existieren.



Links und rechts sind nicht die einzigen Richtungen im Zweidimensionalen. Zudem hast du dich im Nenner verrechnet. Und wieso ist der Grenzwert 0? Da fehlt noch eine Begründung.
pauly1992 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partiell diffbar, stetig ergänzbar
Danke für die Antwort!
Stimmt! Ich habe mich da verrechnet. Richtig sollte es so sein:


Dieser Teil geht gegen 0. Also der Nenner gegen 1 und der Zähler geht auch gegen 0 und somit alles gegen 0.

Ich sehe nicht, wie ich sonst zeigen kann, ob es stetig ergänzbar in (0,0) ist.
Und mein 2. Teil, ist der auch falsch?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir beim ersten Teil.

Für besitzt gar keinen Grenzwert. Nimm speziell und mit ganzzahligem und laß gehen. Und dann umgekehrt: und . Beide Male gilt . Was ist aber mit ?

Zur Lösung der Aufgabe gehe zum Betrag über und schätze ab. Die erste Umformung kannst du lassen:



Jetzt schätze den Nenner trivial nach unten ab. Beachte im Zähler die Dreiecksungleichung sowie und . Hierbei meinen die Doppelstriche die euklidische Norm:
pauly1992 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partiell diffbar, stetig ergänzbar
Also abschätzen nach unten, z.B. so?

, da

wenn ich hier jetzt nehme und n->infinity laufen lasse, dann habe ich Grenzwert 0.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partiell diffbar, stetig ergänzbar
Zitat:
Original von pauly1992
Also abschätzen nach unten, z.B. so?

, da

Das ist ja völlig daneben gegangen. Wenn der Nenner kleiner als 1 ist, gilt .

Zitat:
Original von pauly1992
wenn ich hier jetzt nehme und n->infinity laufen lasse, dann habe ich Grenzwert 0.

Das ist ganz nett, aber du müßtest das für alle möglichen Nullfolgen zeigen.

In der Rechnung von Leopold entsteht der Nenner . Diesen kannst du bequem nach unten abschätzen. smile
 
 
pauly1992 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Partiell diffbar, stetig ergänzbar
Ok, ich versuche das ganze nochmal. Mir fehlt noch die Übung im Abschätzen...


Mein Versuch:







und dann evtl.


Das sieht doch schon besser aus ? Big Laugh
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Eine unfaßbare Hin- und Herrechnerei - teilweise mit falschen Umformungen ( ist nicht x, sondern |x|) - und am Ende mit einem unbrauchbaren Ergebnis, denn was machst du nun, wenn (x,y) gegen (0, 0) geht?

Warum nimmst die nicht das, was Leopold geschrieben hat:
Zitat:
Original von Leopold
Zur Lösung der Aufgabe gehe zum Betrag über und schätze ab. Die erste Umformung kannst du lassen:



Jetzt schätze den Nenner trivial nach unten ab. Beachte im Zähler die Dreiecksungleichung sowie und . Hierbei meinen die Doppelstriche die euklidische Norm:

Offensichtlich ist und somit folgt:



Den Rest solltest du jetzt aber selber schaffen.
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