Jordannormalform, Eigenwerte, Minimalpolynom

21.08.2017, 10:18

Gast_0123

Jordannormalform, Eigenwerte, Minimalpolynom

Meine Frage:
Guten Morgen,
ich bereite mich gerade auf eine mündliche Prüfung (Ana I,II, LA I,II) vor.
Und zwar geht es um Beispiele rechnen, in den Prüfungsprotokollen sind viele Beispiele, wie

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Man soll Eigenwerte (bei C zB nur durch anschauen), charakteristisches Polynom, Minimalpolynom, JNF finden , wie sieht die Orthonormalbasis aus?

Meine Ideen:
Gibt es hierfür irgendwelche Tricks, außer den gewöhnlichen Weg über charakteristisches Polynom --> EW --> Vielfachheiten bestimmen usw? Gibt es für Symmetrische Matrizen hierzu Aussagen? Oder wenn Spalten/Zeilen linear abhängig sind?

Bei C erhalte ich zB wegen der Invarianz der Spur als Eigenwerte 0, gibt es noch weitere solche "Vereinfachungen" um das große Rechnen zu umgehen?

Dann habe ich noch eine weitere Aufgabe aus Ana I:
Wie lässt sich die folgende Funktion modifizieren, damit sie gleichmäßig stetig ist

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R>0 \Rightarrow \mathbb R , x \Rightarrow \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, dass ihr ein paar Tipps für mich habt :-)

21.08.2017, 10:29

Gast_0101

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habe mich bei Matrix B vertippt:

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.08.2017, 10:37

HAL 9000

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Bei $\begin{align*} C \end{align*}$ kann man gleich zwei Zeilen wegen linearer Abhängigkeit streichen, das ergibt schon mal einen Rangabfall um 2 und damit ist der Eigenwert 0 doppelt. Dasselbe trifft auch auf Matrix $\begin{align*} A \end{align*}$ zu.

Auch bei $\begin{align*} B \end{align*}$ erkenne ich einen Eigenwert 0, weil die dritte Spalte gleich der doppelten Summe aus erster und zweiter Spalte ist. Ansonsten bin ich mit dem direkten "Sehen" ohne großes Rechnen auch bereits am Ende, d.h., das gesamte Eigenwertspektrum durch bloßes Anschauen zu ermitteln, gelingt mir hier auch nicht. Augenzwinkern

P.S.: Während ich das getippt habe, hast du B verändert. Meine Aussage bezog sich auf das ursprüngliche B.

Zitat:

Original von Gast_0123
Gibt es für Symmetrische Matrizen hierzu Aussagen?

Reelle symmetrische Matrizen (oder allgemeiner komplexe hermitesche Matrizen) besitzen ausschließlich reelle Eigenwerte und sind auch diagonalisierbar, besitzen also stets eine Basis aus Eigenvektoren, die zudem auch noch orthogonal gewählt werden kann.

21.08.2017, 10:47

klarsoweit

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Eins geht noch: wenn die zeilenweise Summe der Zeilenelemente immer gleich ist, dann ist dieser Wert ein Eigenwert zum Eigenvektor (1, 1, ..., 1). smile

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