Die Gamma Funktion

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Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gamma Funktion
Meine Frage:
Hallo folgende Aufgabe :

Für x>0 ist mit

die Gamma Funktion gegeben.

a) Zeigen Sie, dass das Integral für alle x >0 Konvergiert.
Hinweis : Betrachten Sie und getrennt.

b) Zeigen Sie das die Gamma-Funktion die Funktionalgleichung für alle x>0 erfüllt.

c)Folgern sie das für alle n element N gilt.







Meine Ideen:
Zu a) Erstmal weiß ich nicht warum man als Hinweis bekommt das man die Integrale getrennt betrachten soll. Das ist ja ein unbestimmter Integral und ich würde einfach für unendlich eine Variable einsetzen z.B a und diese variable gegen unendlich Laufen lassen geht das nicht ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cidnex
Zu a) Erstmal weiß ich nicht warum man als Hinweis bekommt das man die Integrale getrennt betrachten soll. Das ist ja ein unbestimmter Integral und ich würde einfach für unendlich eine Variable einsetzen z.B a und diese variable gegen unendlich Laufen lassen geht das nicht ?

Du meinst vermutlich uneigentliches (!) Integral. Ja, das ist es, aber etwa im Fall ist es nicht nur am oberen Ende uneigentlich, sondern auch am unteren Ende . Und diese beiden Grenzwertuntersuchungen sowie in Bezug auf die Integralgrenzen unternimmt man doch am besten getrennt, daher der Hinweis zur Aufspaltung des Integrals.

Was allerdings falsch ist, die beiden Teilintegrale jeweils zu nennen: Ihre Summe mag die Gammafunktion sein (allerdings auch nur nach den Grenzübergängen und ) , die beiden Teile einzeln gesehen sind es nicht. unglücklich
Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich verstehe..

Also gut ich werde mich erst mal um das Integral


kümmern.

Es gilt :







für x>=

Stimmt das ? verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dich nicht: Was hat die Differenz mit dem Integral hier zu tun? Erstaunt1

Dir ist schon klar, dass bedeutet, also Produkt statt Summe?
Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

ohman das müsste ich mit Partieller Integration machen traurig



Sei ,

und ,

daraus würde folgen :






was könnte ich jetzt machen ist das richtig bis jetzt ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, könntest du, und hast damit die Probleme in das Restintegral verlagert. Immerhin ist das jetzt ein Riemann-Integral mit beschränkten Integranden, womit man de facto fertig ist, was die Existenz betrifft. smile

Man kann aber auch gleich so vorgehen: Der Integrand ist positiv, außerdem kann man für abschätzen, es gilt daher

,

also Beschränktheit nach oben durch die von unabhängige Konstante . Damit existiert das uneigentliche Integral über die Majorante, und in der Folge auch .
 
 
Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte immer das Majorantenkriterium nur für Reihen gilt.. verwirrt

Benutzt du etwa das : Es sei an eine Folge und bn eine Nullfolge mit der Eigenschaft |a_n - a| <=|b_n| für alle n >= n_0 und ein a element R. Dann konvergiert die Folge a_n gegen a
?

hast du so den Grenzwert gezeigt das dieser existiert ?

sehr elegant wie du die Aufgabe gelöst hast ich bin begeistert Big Laugh

heißt das : wenn wir das uneigentliche Integral nach oben abschätzen und das vereinfachte uneigentliche Integral Konvergiert dann gilt das auch für für das andere Integral ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cidnex
Ich dachte immer das Majorantenkriterium nur für Reihen gilt.. verwirrt

Ich hab von Majorante gesprochen, nicht von dem Majorantenkriterium für Reihen. Der Begriff "Majorante" ist nicht exklusiv für Reihen definiert, sondern kennzeichnet hier ledigliche eine Funktion, die > der Integrandenfunktion ist.

Zitat:
Original von Cidnex
heißt das : wenn wir das uneigentliche Integral nach oben abschätzen und das vereinfachte uneigentliche Integral Konvergiert dann gilt das auch für für das andere Integral ?

Wenn du zusätzlich noch berücksichtigst, dass der ursprüngliche Integrand positiv ist: Ja.
cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich verstehe Danke ! smile



Zitat:
Original von HAL 9000

,



hast du hier wegen der Konvergenz das hier benutzt :

Es sei an eine Folge und bn eine Nullfolge mit der Eigenschaft |a_n - a| <=|b_n| für alle n >= n_0 und ein a element R. Dann konvergiert die Folge a_n gegen a
?

wegen dem 2 Integral :




für t>= 0 können wir wieder e^(-t) <= 1 abschätzen







ist das soweit richtig ? wenn ja wie gehts weiter ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von cidnex
Es sei an eine Folge und bn eine Nullfolge mit der Eigenschaft |a_n - a| <=|b_n| für alle n >= n_0 und ein a element R. Dann konvergiert die Folge a_n gegen a

Hast du jetzt seit dem Zeitpunkt, da ich "Majorante" gesagt habe, das Lehrbuch zu Folgen und Reihen auufgeschlagen und zitierst jetzt daraus wahllos, völlig losgelöst von dem was ich gesagt habe, und völlig sinnfrei? Anders kann ich mir solche Anfragen wie die jetzt eben nicht erklären. unglücklich ´

Zitat:
Original von cidnex
für t>= 0 können wir wieder e^(-t) <= 1 abschätzen

Könnten wir, machen wir aber nicht: Denn dieser Term ist der, der im Fall x>1 die Konvergenz überhaupt erst sichert. Schätzt du so ab, dann hast du eine divergente Majorante, die leider überhaupt nichts nützt.
cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

Puh ok ..

Wenn wir zeigen können, dass das Integral Absolut Konvergiert dann Konvergiert ja auch das Integral ohne Betrag
Also das uneigentliche Integral ist Riemann-integrierbar.. das heißt es gilt



=

hmm bringt mir das eigentlich was verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe mindestens zwei Möglichkeiten:

a) Abschätzen für die nächstgrößere ganze Zahl . Das Integral über lässt sich nämlich explizit ausrechnen, allerdings etwas umständlich.

b) Jede Exponentialfunktion mit positivem wächst schneller als eine Potenzfunktion , das gilt auch für . Es gibt also ein , so dass für alle dann gilt, insgesamt dann also für

,

letzteres dann auch im Grenzübergang .
Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

wegen b)

dann hätten wir doch die untergrenze geändert die Untergrenze muss doch 1 sein verwirrt

und wie hast du im letzten teil den Grenzwert R gegen unendlich ausgerechnet ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Arghhhh, unselbständig bis zum Gehtnichtmehr...

Das Integral ist ein Riemannintegral einer stetigen Funktion: Endliches Intervall als Integrationsbereich, beschränkter Integrand - dieses Integral existiert selbstverständlich auch.
Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok.

zu der b)

Zitat:
Zeigen Sie das die Gamma-Funktion die Funktionalgleichung für alle x>0 erfüllt.



Es ist :





das heißt :



und


zusammengefasst



stimmt das
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Am Ende war's dir wohl auch zuviel, die Grenzwertsymbolik überall mitzuschleppen ... abgesehen von diesem Lapsus in der letzten Zeile scheint es soweit zu stimmen. Augenzwinkern
Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

und zu c)

zeige ich mit Vollständiger Induktion

zz. für alle n element N0 gilt.


Sei n=0 :




Sei n Element N und es gelte



richtig ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Hal9000,

noch eine Kleine frage :











kann ich auch so zeigen, dass das Integral Konvergiert ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, klappt genauso.
Cidnex Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke Freude

und bei der b) ist mir etwas unklar wir haben doch



und ich habe einfach unüberlegt die untergrenze auch als uneigentlichen Integral aufgefasst wenn ich jetzt so nachdenke warum ist das so ?
weil für alle t ist doch t^x e^{-t} definiert verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei für schon, bei (und in das formst du ja dann um) für aber nicht.
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