Lösungsmenge bei quadratischen Ungleichungen

21.08.2017, 19:35

Philipp2706

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Lösungsmenge bei quadratischen Ungleichungen

Hi,
ich habe eine Frage zu quadratischen Ungleichungen.
Die Ungleichung lautet $\begin{eqnarray*} |x^2-9| - |x-1| <0 \end{eqnarray*}$ .
Ich habe zunächst die 4 Fälle aufgestellt und möchte diese jetzt lösen.

Bei Fall 1a. $\begin{eqnarray*} x^2-x-8<0 \end{eqnarray*}$ bekomme ich mit der pq-Formel zwei Lösungen raus (x1=3,37 und x2=-2,37).

Wenn ich diese mit den zwei Bedingen vergleiche
Bedingung 1 = x>=3 v x<=-3
Bedingung 2 = x>=1

fliegt die Lösung -2,37 raus. Es bleibt dann noch eine Lösung.
Muss die Lösung eines Falls immer ein Intervall oder ein <,> sein?
Geht auch x=eine bestimmte Zahl?

Danke Hammer

Hammer

Freude

21.08.2017, 19:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Philipp2706
Muss die Lösung eines Falls immer ein Intervall oder ein <,> sein?
Geht auch x=eine bestimmte Zahl?

Nein, gewiss nicht: Die Ungleichung $\begin{align*} g(x)<0 \end{align*}$ mit einer stetigen (!) Funktion $\begin{align*} g \end{align*}$ hat auf jeden Fall eine offene Lösungsmenge. Ein aus einem einzelnen Punkt bestehende Lösungsmenge ist nicht offen. unglücklich

unglücklich

Bei $\begin{align*} g(x)\leq 0 \end{align*}$ indes kann das vorkommen, z.B. hat $\begin{align*} (x-2)^2\leq 0 \end{align*}$ die Lösungsmenge $\begin{align*} \{2\} \end{align*}$ .

-----------------------------------------------------------

Du hast leider deine Fallunterscheidung nicht richtig erläutert, die ist hier einigermaßen vertrackt. Am besten umgeht man sie komplett, indem man etwas geschickter vorgeht:

$\begin{align*} |x^2-9| < |x-1| \end{align*}$ ist äquivalent zu $\begin{align*} (x^2-9)^2 < (x-1)^2 \end{align*}$ , und das wiederum äquivalent zu

$\begin{align*} (x^2-9)^2-(x-1)^2 &< 0<br /> (x^2-9-x+1)(x^2-9+x-1) &<0<br /> (x^2-x-8)(x^2+x-10) &< 0<br /> \left(x - \frac{1+\sqrt{33}}{2}\right)\left(x - \frac{1-\sqrt{33}}{2}\right)\left(x - \frac{-1-\sqrt{41}}{2}\right)\left(x - \frac{-1+\sqrt{41}}{2}\right) &< 0\qquad (*) \end{align*}$ .

Listen wir die vier fraglichen Zahlen der Größe nach geordnet auf, beginnend mit der kleinsten:

$\begin{align*} x_1 &= \frac{-1-\sqrt{41}}{2} \approx -3.7016<br /> x_2 &= \frac{1-\sqrt{33}}{2} \approx -2.3723<br /> x_3 &= \frac{-1+\sqrt{41}}{2} \approx 2.7016<br /> x_4 &= \frac{1+\sqrt{33}}{2} \approx 3.3723 \end{align*}$ .

Ist $\begin{align*} x<x_1 \end{align*}$ , so ist das Produkt links in (*) positiv, also keine Lösung. Die Lösungsmenge ist daher

$\begin{align*} L = \left(x_1,x_2\right) \cup \left(x_3,x_4\right) = \left(\frac{-1-\sqrt{41}}{2},\frac{1-\sqrt{33}}{2}\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt{41}}{2},\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right) \end{align*}$ .

21.08.2017, 19:58

Philipp2706

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Das habe ich mir schon gedacht verwirrt

verwirrt

Würde ich in diesem Fall davon ausgehen das x > 3,37 sein muss?

Wie gehe ich vor wenn sich eine der beiden Lösungen im Vergleich mit den Bedingungen innerhalb eines Intervalls befindet?

x> Zahll oder x<Zahl wäre dann ja beides richtig solange es im Intervall der Bedingung ist.(??)

Beispiel:

Fall 2a

$\begin{eqnarray*} -(x^2-9) -x +1<0 \end{eqnarray*}$

Lösungen
x1= 2,74
x2= -3,74

Bedingungen
-3<x<3
x>=1

ich würde die Lösungsmenge so interpretieren das x2 rausfliegen würde. Dann hätte ich aber wieder das Problem mit der Lösungsmenge verwirrt

verwirrt

Edit:
Ich habe die Formeln gerade noch nicht gesehen.

21.08.2017, 20:15

HAL 9000

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Zur Ergänzung:

21.08.2017, 20:26

Philipp2706

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Vielen Dank erstmal für deine Lösung Freude

Freude

Allerdings wollte ich die Aufgabe gerne auch auf dem herkömmlichen Wege lösen. Auch wenn das wahrscheinlich viel komplizierter ist.

Das sind meine Fälle:

21.08.2017, 20:35

HAL 9000

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Also gut, die Ochsentour...

Als erstes solltest du dann aber die Fallbedingungen ordentlich vernüpfen:

Fall 1a) bedeutet in dem Sinne $\begin{align*} (x\geq 3 \vee x\leq -3)\wedge (x\geq 1) = (x\geq 3) \end{align*}$ .

Wie lautet nun deine Lösungsmenge für diesen Fall?

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21.08.2017, 20:41

Philipp2706

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Beide Bedingungen verknüpft wäre dann: x>=3 v x<=-3
Stimmt schon. So ist es schon mal übersichtlicher als wenn wenn ich später mit zwei Bedingungen abgleichen muss. Freude

Freude

22.08.2017, 07:49

HAL 9000

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Ist seltsam, wie manche Leute unvermittelt aufhören. Oder ist jetzt doch schon alles geklärt? verwirrt

verwirrt

22.08.2017, 14:27

Philipp2706

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Nein ich bin immer noch an der Aufgabe dran
Ich hatte einen Denkfehler bei der Verknüpfung der beiden Bedingungen. Das x muss >=3 sein.

Also kommt nur noch x1= 3,37 in Frage.

Mein Problem war welche Lösung ich angeben kann, wenn ich über die pq-Formel "bestimmte" Lösungen rausbekomme und keine Intervalle.

Wenn man beide Beträge als Funktion übereinander legen würde, würde man die beiden Schnittpunkte sehen. Kann ich weil beide Funktionen stetig sind davon ausgehen dass die Lösung >=3,37 sein muss?

$\begin{eqnarray*} |x^2-9|-|x-1|<0 \end{eqnarray*}$

Die Grafiken sind falsch weil es sich um Beträge handelt.

22.08.2017, 15:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Philipp2706
Mein Problem war welche Lösung ich angeben kann, wenn ich über die pq-Formel "bestimmte" Lösungen rausbekomme und keine Intervalle.

Die pq-Formel liefert nur Lösungen der Gleichung $\begin{align*} x^2+px+q=0 \end{align*}$ . Was diese Lösungen für die Lösung der Ungleichung $\begin{align*} x^2+px+q<0 \end{align*}$ bedeutet, musst du dir klarmachen, dabei können solche Funktionsgraphen helfen: Aus den Lösungen $\begin{align*} \frac{1\pm \sqrt{33}}{2} \end{align*}$ der Gleichung $\begin{align*} x^2-x-8=0 \end{align*}$ kannst du auf das reelle Lösungsintervall

$\begin{align*} \left( \frac{1-\sqrt{33}}{2},\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right) \approx (-2.3723, 3.3723) \end{align*}$

der Ungleichung $\begin{align*} x^2-x-8<0 \end{align*}$ schließen. Dies wird nun kombiniert mit dem oben ja gerade eben festgestellten Definitionsintervall $\begin{align*} [3,\infty) \end{align*}$ dieses Falles 1a), so dass schließlich

$\begin{align*} \left( \frac{1-\sqrt{33}}{2},\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right) \cap [3,\infty) = \left[ 3,\frac{1+\sqrt{33}}{2}\right) \approx [3, 3.3723) \end{align*}$

die Lösungsmenge für diesen Fall 1a) ergibt. In ähnlicher Weise ist mit den anderen drei Fällen zu verfahren.

Zitat:

Original von Philipp2706
Wenn man beide Beträge als Funktion übereinander legen würde, würde man die beiden Schnittpunkte sehen. Kann ich weil beide Funktionen stetig sind davon ausgehen dass die Lösung >=3,37 sein muss?

Ich kann jetzt nicht nachvollziehen, was du hier wie folgern willst. verwirrt

verwirrt

22.08.2017, 16:33

Philipp2706

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Ok ich fasse einmal zusammen wie ich es verstehe.
Ich bekomme zwei Lösungen aus der pq-Formel
Weil ich mir die Parabel bildlich vorstelle, erkenne ich dass der Wert für x größer als $\begin{eqnarray*} \frac{1-\sqrt{33}}{2} \end{eqnarray*}$ aber kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{1+\sqrt{33}}{2} \end{eqnarray*}$ sein muss. Weil die positiven Werte der Parabel in diesem Intervall sind.
Dann ist mein Intervall erstmal $\begin{eqnarray*} \left (\frac{1-\sqrt{33}}{2},\frac{1+\sqrt{33}}{2} \right ) \end{eqnarray*}$
bzw. $\begin{eqnarray*} \left \{\frac{1-\sqrt{33}}{2}\leq x \leq \frac{1+\sqrt{33}}{2} \right \} \end{eqnarray*}$

Jetz muss ich meine Lösung mit der (zuvor verknüpften) Bedingung abgleichen.

Das Bedeutet das vorherige Intervall geschnitten mit x>=3. Das heißt $\begin{eqnarray*} 3\leq x\leq 3,37 \end{eqnarray*}$

Also der markierte Bereich im Zahlenstrahl (Anhang)

22.08.2017, 22:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Philipp2706
Weil die positiven Werte der Parabel in diesem Intervall sind.

Im Gegenteil: Die negativen Werte der Parabel liegen in diesem Intervall - sollte aus der Skizze eigentlich klar sein. unglücklich

unglücklich

23.08.2017, 05:40

Philipp2706

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wird aus $\begin{eqnarray*} |x^2 -9| \end{eqnarray*}$ nicht...?

Eine Betragsfunktion ist doch immer >=0 verwirrt

verwirrt

Allerdings wir die Parabel in meinen Lösungen als unten geöffnete Parabel gezeigt. Das verstehe ich nicht so ganz verwirrt

verwirrt

Die negativen Werte sind in meiner Lösung "hochgeklappt" und die beiden Graphen bilden dann übereinandergelegt die vier Schnittpunkte.

23.08.2017, 07:55

HAL 9000

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Ich weiß nicht, warum du hier lauter irrelevante Funktionen plottest??? Wir reden über die Ungleichung $\begin{align*} x^2-x-8<0 \end{align*}$ und damit über die Parabel $\begin{align*} x^2-x-8 \end{align*}$ , deren Nullstellen und was dazwischen passiert:

Und da ist es nun mal so, dass die Parabel zwischen den beiden Nullstellen unterhalb der x-Achse verläuft, und damit dort negative Werte aufweist. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Es ist absolut nicht hilfreich, dass du immer wieder zu den Betragstermen der Originalungleichung abschweifst: Die sind nun mal schlecht direkt interpretierbar, genau deswegen wurden sie ja per Fallunterscheidung aufgebrochen und in den einzelnen Fällen in "normale" Parabeln überführt. Und darüber reden wir jetzt hier!

23.08.2017, 08:56

Philipp2706

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Ok ich verstehe.
Die Aufgabe kommt aus "Papula - Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler" und da wurde das Ergebnis zeichnerisch ermittelt. Das hat mich etwas irritiert weil ich die Lösung ja rechnerisch ermittelt habe.

Aber so ist es logisch.

Vielen Dank für deine Hilfe smile

smile

Freude

23.08.2017, 09:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Philipp2706
und da wurde das Ergebnis zeichnerisch ermittelt.

Davon war oben noch keine Rede. Und wenn man das machen will, dann muss man aber auch mit den wirklichen Betragsfunktionen arbeiten:

Lösungen der Ungleichung sind dann alle Intervalle, in denen der rote Graph unterhalb des grünen Graphen liegt.

23.08.2017, 10:24

Philipp2706

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ja genau so
ich habe es irgendwie nicht hinbekommen die Beträge hier zu plotten, bei mir kam immer eine Fehlermeldung wenn ich das Symbol neben der Y-Taste dazu benutzt habe Big Laugh

Big Laugh

23.08.2017, 11:00

HAL 9000

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Plotter und LaTeX sind verschiedene Paar Schuhe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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