Totales Differential - Dreieck

22.08.2017, 09:35

Mathe:(

Totales Differential - Dreieck

ahoi zusammen,
ich hänge mal wieder an einer aufgabe, bei der ich irgendwie nicht auf das ergebnis kommen will.
folgende aufgabenstellung:
in einem gleichschenkligen dreieck sind die basis b=12m und ein schenkel a=10m gemessen worden. welcher fehler ergibt sich für die dreiecksfläche, wenn b um 0,1m zu groß und a um 0,1m zu klein bestimmt wurde.

als ansatz habe ich erst überlegt, wie ich die fläche A bestimmen kann. dafür habe ich pythagoras auf eine hälfte des dreiecks angewand, da dieses dann an der basis einen rechten winkel bildet. das ganze ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} h=\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}} \end{eqnarray*}$

damit kann man dann den flächeninhalt A bestimmen:

$\begin{eqnarray*} A = h*\frac{b}{2} \end{eqnarray*}$

bzw mit h ersetzt:

$\begin{eqnarray*} A = \sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}*\frac{b}{2} \end{eqnarray*}$

der ansatz um dies mit dem totalen differtial zu lösen, müsste wie folgt sein:

$\begin{eqnarray*} dA = A_{a}da + A_{b}db \end{eqnarray*}$

also müssen Aa und Ab bestimmt werden, dafür habe ich folgendes raus bekommen:

$\begin{eqnarray*} A_{a}=\frac{ab}{2\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{b}=\frac{4a^{2}}{8\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}} \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich die werte eingesetzt a=10m ; b=12m ; da = -0,1m ; db = +0,1m

$\begin{eqnarray*} dA=\frac{120}{2*\sqrt{64}}*(-\frac{1}{10})+\frac{400}{8\sqrt{64}}*(\frac{1}{10}) \end{eqnarray*}$

ausgrechner kommt dann raus: dA = -1/8

laut ergebnis müsste dA jedoch 0,575 sein.

sieht da jemand einen fehler? eventuell da und db falsch am ende eingesetzt? verwirrt

danke schonmal smile

22.08.2017, 09:42

klarsoweit

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RE: totales differential - dreieck

Zitat:

Original von Mathe
$\begin{eqnarray*} A_{b}=\frac{4a^{2}}{8\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}} \end{eqnarray*}$

Es hat den Anschein, daß du bei der Ableitung nach b nicht die Produktregel beachtet hast.

22.08.2017, 09:52

Mathe:(

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kann es ja mal ausführlich schreiben, dort ist es schon zusammen gefasst:

$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}*\frac{b}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{b}=-\frac{b}{4\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}}*\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}*\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}} \end{eqnarray*}$

aufgleichen nenner bringen:

$\begin{eqnarray*} A_{b}=\frac{b^{2}+4a^{2}-b^{2}}{8\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}} \end{eqnarray*}$

b^2 und 4/8 kürzen = mein ergebnis für Ab

22.08.2017, 10:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathe
aufgleichen nenner bringen:

$\begin{eqnarray*} A_{b}=\frac{b^{2}+4a^{2}-b^{2}}{8\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}}} \end{eqnarray*}$

Hm. Ich komme auf $\begin{eqnarray*} A_b = \frac{-b^2+4a^2-b^2}{8\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}} \end{eqnarray*}$ .

22.08.2017, 10:09

Mathe:(

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du hast recht! ich habe das minus irgendwie vor dem ersten bruch verloren... ich rechne damit mal weiter und schaue was dabei raus kommt Freude