Eine Polstelle ist keine Unstetigkeitsstelle?

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RudisehrRatlosXXL Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Polstelle ist keine Unstetigkeitsstelle?
Meine Frage:
Ich habe eine theoretische Frage:
Die Polstelle xo einer gebrochenrat. Funktion f zeichnet sich ja dadurch aus, dass f an dieser Stelle nicht definiert ist.

Stetigkeit an der Stelle xo haben wir so festgelegt, dass f in xo def. ist und dass gilt: lim f(x) für x gegen x0 = f(xo).

So kann doch diese Polstelle keine Unstetigkeitsstelle sein - oder? Denn f wäre ja schon gar nicht in x0 definiert. Also ist f an einer Polstelle weder stetig noch unstetig.

Und somit gibt es als Unstetigkeitsstellen nur Lücke mit/ohne Sprung und Sprungstelle.

Alles so richtig gedacht?

Meine Ideen:
Oder liegt das (wie so oft) vor allem daran, welche Definitionen man benutzt??
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine Polstelle ist keine Unstetigkeitsstelle!?
Im Prinzip hast du Recht. Allerdings läßt sich ein fehlender Funktionswert leicht auch kompensieren. Beispiel:


smile
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine Polstelle ist keine Unstetigkeitsstelle!?
Schreiben wirs mal leicht abgewandelt
Zitat:
Original von RudisehrRatlosXXL
Stetigkeit an der Stelle xo haben wir so festgelegt, dass
1) f in xo def. ist
und
2) gilt: lim f(x) für x gegen x0 = f(xo).

dann sind für Stetigkeit 2 Bedingungen zu erfüllen und für eine Polstelle gilt bereits Bedingung 1) nicht, somit ist f in x0 nicht stetig, sprich unstetig.
Bei anderen Funktionen scheitert die Stetigkeit halt erst bei Bedingung 2).
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine Polstelle ist keine Unstetigkeitsstelle!?
Zitat:
Original von klauss
und für eine Polstelle gilt bereits Bedingung 1) nicht

Was - mit Blick auf mein Beispiel - so nicht stimmt. Augenzwinkern
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine Polstelle ist keine Unstetigkeitsstelle!?
Zitat:
Original von klauss
Schreiben wirs mal leicht abgewandelt
Zitat:
Original von RudisehrRatlosXXL
Stetigkeit an der Stelle xo haben wir so festgelegt, dass
1) f in xo def. ist
und
2) gilt: lim f(x) für x gegen x0 = f(xo).

dann sind für Stetigkeit 2 Bedingungen zu erfüllen und für eine Polstelle gilt bereits Bedingung 1) nicht, somit ist f in x0 nicht stetig, sprich unstetig.
Bei anderen Funktionen scheitert die Stetigkeit halt erst bei Bedingung 2).


Tut mir Leid, aber das stimmt einfach nicht. Die Definition ist leider etwas ungünstig, um das zu sehen. Richtig wäre es so: Sei aus dem Definitionsbereich. Dann heißt f stetig in x_0, wenn ... und unstetig, falls nicht .... . Es ist daher genau, wie im Themenstart gesagt, f ist weder stetig noch unstetig in einer Polstelle, die nicht ergänzt wurde.

Du würdest ja auch nicht sagen, dass f unstetig in i ist, weil f dort nicht definiert ist.
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine Polstelle ist keine Unstetigkeitsstelle!?
Zitat:
Original von klarsoweit
Was - mit Blick auf mein Beispiel - so nicht stimmt. Augenzwinkern

Interessantes Beispiel, für das Bedingung 1) erfüllt ist.
Ich gehe mal von "klassischen" Polen aus.
Unstetigkeit liegt so oder so vor.

Zitat:
Original von Clearly_wrong
Die Definition ist leider etwas ungünstig, um das zu sehen. Richtig wäre es so: Sei aus dem Definitionsbereich. Dann heißt f stetig in x_0, wenn ... und unstetig, falls nicht .... . Es ist daher genau, wie im Themenstart gesagt, f ist weder stetig noch unstetig in einer Polstelle, die nicht ergänzt wurde.

Da ist die Definition etwas verändert, so dass Bedingung 1) wegfällt und sich dadurch auch die Aussage ändert.

Zitat:
Du würdest ja auch nicht sagen, dass f unstetig in i ist, weil f dort nicht definiert ist.

Bei Definition 1 ja, bei Definition 2 nein.

Welches ist nun die für den Schulbereich bessere Definition, ohne akademische Feinheiten?
 
 
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde da garnicht unterscheiden zwischen Definition in der Schule oder wo anders. Wenn man eine Definition angibt, sollte es m.E. auch die richtige sein. Man kann in der Schule natürlich auch einfach anschaulich beschreiben, was Stetigkeit ist. Das hat dann keinen Anspruch auf vollkommene Korrektheit.

Ich bin aber kein Lehrer, das ist also nur meine Meinung dazu. Ich hatte ehrlich gesagt bei meiner ersten Antwort übersehen, dass wir uns im Schulbereich befinden.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin dafür Funktionen so zu nehmen wie sie sind. Derjenige der sie definiert ist der Herr des Verfahrens.
Nur muss man dann auch die Definitionsmenge ( mit ) angeben.
Sonst hat man keine linkstotale rechtseindeutige Relation.
das "Bestimmen einer ( der ) Definitionsmenge" ist keine Aufgabe an sich.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eine Polstelle ist keine Unstetigkeitsstelle!?
Zitat:
Original von RudisehrRatlosXXL
Stetigkeit an der Stelle xo haben wir so festgelegt, dass f in xo def. ist und dass gilt: lim f(x) für x gegen x0 = f(xo).

Aufgrund der Diskussion würde mich mal der exakte Wortlaut interessieren, den ihr verwendet habt. Da eine Funktion nur zusammen mit ihrem Definitionsbereich existiert, ist eine Betrachtung von Stellen außerhalb des Definitionsbereichs eh obsolet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann sich auch so aus der Affäre ziehen: Man vermeidet einfach den Begriff "Unstetigkeit", wenn es um Stellen außerhalb des Definitionsbereichs der Funktion geht, sondern spricht dort einfach von "Undefiniertheit". Damit tritt man keinem auf die Füße.

Ich persönlich bin da pragmatisch: Mich würde es weder stören, wenn man solche Stellen "unstetig" noch wenn man sie "weder stetig noch unstetig" nennt, ich kann mit beiden Auffassungen leben. Augenzwinkern
RudisehrRatlosXXL Auf diesen Beitrag antworten »
Aha - danke!
An eurer Diskussion merke ich schon, dass es wirklich nicht so einfach ist.

Wenn ich also den Begriff "Unstetigkeitsstelle" nur auf solche x anwende, die zum Definitionsbereich der Funktion gehören, dann entfällt die Polstelle.

Danke für eure Diskussion, hat mir beim Nachdenken geholfen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aha - danke!
Zitat:
Original von RudisehrRatlosXXL
Wenn ich also den Begriff "Unstetigkeitsstelle" nur auf solche x anwende, die zum Definitionsbereich der Funktion gehören, dann entfällt die Polstelle.

Wie du an meinem Beispiel sehen kannst, entfällt diese eben nicht. smile
klauss Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aha - danke!
Zitat:
Original von klarsoweit
Wie du an meinem Beispiel sehen kannst, entfällt diese eben nicht.

Was man noch anführen könnte:
Hätte man die beliebte Aufgabenstellung: Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion "an den Rändern des Definitionsbereichs", dürfte diese Art Polstelle außer Betracht bleiben.
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