Abgeschlossenheit bezüglich der unteren Dreiecksmatrizen

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22.08.2017, 16:29	Wunderkind89	Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit bezüglich der unteren Dreiecksmatrizen Guten Tag, ich bin neu hier im Forum und hoffe ihr könnt mir helfen. Folge Aufgabenstellung: Zeige, dass M^L (Menge der unteren Dreiecksmatrizen) bezüglich der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist. Meine Ideen: Cij=Summe über Aik * Bkj von k=1 bis k=n muss für den Beweis in zwei Doppelsummen aufgespalten werden, wobei Cij=0 für j>i sein muss und daran scheitere ich leider. Es wäre nett wenn ihr mir auch sagen würdet, wie ich hier mathematische Zeigen, wie Summe etc. in mein Text einbinden kann. Vielen Dank im Vorraus.
22.08.2017, 21:57	Wunderkind89	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich poste hier mein Thema nochmals, da irgendwie ich mein vorheriges Post nicht bearbeiten kann. Es kommt immer die Meldung, dass Beitrag immer 15 Minuten nachdem es verfasst wurde bearbeitet werden kann und es sind deutlich mehr als 15 Minuten vergangen und trotzdem kann ich mein Beitrag nicht editieren, es kommt immer diese Meldung. Also hier die überarbeitete Version: Guten Tag, ich bin neu hier im Forum und hoffe, dass ihr mir helfen könnt. Es geht um folgende Aufgabenstellung: Zeige, dass M^L (Menge der unteren Dreiecksmatrizen) bezüglich der Matrizenmultiplikation abgeschlossen ist. Meine Ideen: Ich kann die Menge der unteren Dreiecksmatrizen bezüglich einer Matrizenmultiplikation folgendermaßen als Summe darstellen: Cij=Summe über Aik * Bkj von k=1 bis k=n, wobei Cij=0 für j>i sein muss. i steht für die Zeile und j für die Spalte. Nur leider weiß ich nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Es wäre nett wenn ihr mir auch sagen würdet, wie ich hier mathematische Zeichen, wie Summe, Pi etc. in mein Text einbinden kann. Vielen Dank im Vorraus und entschuldigung für den zweimaligen Post.
22.08.2017, 22:36	xb	Auf diesen Beitrag antworten »
Was man bei der Summe sagen kann ist,dass für k>i Aik=0 und für k<j Bkj=0 Mehr weiß ich im Moment auch nicht
23.08.2017, 01:35	Wunderkind89	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k<j}^{n} Aik \sum\limits_{k\geq i}^{n} Bkj <br /> <br /> \neq \sum\limits_{k=1}^{n} AikBkj \end{eqnarray}$ wegen Summenregel. $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k<j}^{n} Aik + \sum\limits_{k\geq i}^{n} Bkj = <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} Aik+Bkj. \end{eqnarray}$ Ist aber nicht die Aufgabenstellung. Wie kann ich also $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=1}^{n} AikBkj \end{eqnarray*}$ noch anders als Summe schreiben? Warum muss ich es als Doppelsumme schreiben (war in der Vorlesung so) Ich seh den Beweis nicht und kann ihn nicht nachvollziehen bezueglich der Abgeschlossenheit. Danke fuer deine Antwort schonmal.
23.08.2017, 01:39	Wunderkind89	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich wenigstens rausgefunden wie man mit Sonderzeichen hantiert .... Das ist ja n Ding gewesen...
23.08.2017, 08:28	xb	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man sich zB C12 betrachet $\begin{eqnarray} C_{12}=A_{11} \cdot (B_{12} ) + (A_{12}) \cdot B_{22} +(A_{13}) \cdot B_{32} +...+(A_{1n}) \cdot B_{n2} =0 \end{eqnarray}$ Dann sind die Werte in Klammern Null wegen k>i Aik=0 und für k<j Bkj=0 Also für i<k oder k<j kommt immer Null raus. Oder anders gesagt für i<j ist Cij=0 und für die untere Dreiecksmatrix gilt für i<j ist Cij=0
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24.08.2017, 14:40	Wunderkind89	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre es also damit bewiesen, wenn ich folgendes schreibe: Cij= $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} AikBkj \end{eqnarray}$ für k> i $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Aik=0 $\begin{eqnarray} \wedge \end{eqnarray}$ k<j $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Bkj=0 $\begin{eqnarray} \vee \end{eqnarray}$ für i < j $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Cij=0 1. Ist die mathematische Schreibweise korrekt ? 2. Ist der Beweis korrekt?
24.08.2017, 18:59	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Beweis wäre korrekt, wenn ich ihn verstehen könnte. Ich verstehe die Idee, aber ich verstehe den Beweis nicht. Also ist der Beweis nicht korrekt. Ich meine, du musst den Hilfssatz beweisen: $\begin{eqnarray} \forall i,j\in \{1,...,n\}(i<j\Rightarrow \forall k\in \{1,...,n\} (A_{ik}=0\vee B_{kj}=0)) \end{eqnarray}$ Daraus folgt dann sofort die Behauptung $\begin{eqnarray} \forall i,j\in \{1,...,n\}(i<j\Rightarrow C_{ij}=\sum_{k=1}^nA_{ik}B_{kj}=\sum_{k=1}^n0=0) \end{eqnarray}$
29.08.2017, 14:20	Wunderkind89	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich den Hilfsansatz beweisen ?
29.08.2017, 14:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist eigentlich unmittelbar über eine sorgfältige Indexbetrachtung im Zusammenhang mit der Eigenschaft " $\begin{align} A,B \end{align}$ sind untere Dreiecksmatrizen" möglich, also quasi nur die richtigen Schlüsse aus der Definition ziehen: Wenn $\begin{align} A \end{align}$ eine untere Dreiecksmatrix ist, dann gilt bei festem $\begin{align} i \end{align}$ die Beziehung $\begin{align} A_{ik}=0 \end{align}$ für alle $\begin{align} k>i \end{align}$ , also $\begin{align} k=i+1,\ldots,n \end{align}$ Wenn $\begin{align} B \end{align}$ eine untere Dreiecksmatrix ist, dann gilt bei festem $\begin{align} j \end{align}$ die Beziehung $\begin{align} B_{kj}=0 \end{align}$ für alle $\begin{align} k<j \end{align}$ , also $\begin{align} k=1,\ldots,j-1 \end{align}$ . Unter der Voraussetzung $\begin{align} 1\leq i < j\leq n \end{align}$ ist nun aber $\begin{align} i\leq j-1 \end{align}$ , damit $\begin{align} \{1,\ldots,j-1\} \supseteq \{1,\ldots,i\} \end{align}$ und folglich $\begin{align} \{1,\ldots,j-1\}\cup \{i+1,\ldots,n\} = \{1,\ldots,n\} \end{align}$ , d.h., jeder Index $\begin{align} k=1,\ldots,n \end{align}$ wird von zumindest einem der beiden Fälle erfasst - und das war es ja, was da nachzuweisen ist!

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