Spektrum eines beschränkten u. linearen Operators

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22.08.2017, 17:38	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Spektrum eines beschränkten u. linearen Operators Hallo ihr Lieben! Ich bin vorhin bei der Klausurvorbereitung auf ein Problem gestoßen, dessen Musterlösung ich nicht so ganz nachvollziehen kann. Folgendes Problem: Es geht um den Operator $\begin{align} T: \ l^2(\mathbb{N})\to l^2(\mathbb{N}), (a_1,a_2,....) \to (a_1, \frac{a_2}{2},.....,\frac{a_k}{k},....) <br /> \end{align}$ Zunächst sollten wir beweisen, dass dieser beschränkt und linear ist. Soweit alles gut. Auch die Eigenwerte $\begin{align} \lambda_n=\frac{1}{n} \end{align}$ waren weiter nicht so schwer. Das Bild war mit $\begin{align} a_n=nb_n \end{align}$ (Ausgehend von $\begin{align} Ta=b \end{align}$ ) auch nicht wirklich kompliziert. Weiter wurde nach dem Spektrum gefragt: Mein erster Gedanken war also, dass dies der Abschluss der Menge der Eigenwerte sein muss, bestätigte sich zwar, allerdings wird da zwischendurch eine relativ aufwendige Rechnung gemacht, die von der Annahme ausgeht, dass $\begin{align} \exists \delta: \|\lambda -s\|>\delta \end{align}$ mit $\begin{align} s \in \{1/k: k\in \mathbb{N}\}\cup\{0\} \end{align}$ ist. So recht verstehe ich nicht, wieso man diese Überlegungen anstellt. Kann mir von euch diesbezüglich vielleicht weiterhelfen? Besten Dank schonmal im Voraus!
22.08.2017, 21:24	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, wieso sollte es so sein, dass das Spektrum der Abschluss der Eigenwerte ist? Das stimmt zwar, dabei geht aber Spektraltheorie kompakter Operatoren ein, die in der Musterlösung wahrscheinlich nicht verwendet wird. Hättest du eine einfachere Begründung parat, warum dies hier gelten sollte? Das elementarste ist, die Resolventenoperatoren einfach explizit anzugeben und wahrscheinlich geht die Musterlösung auch so vor, das kann ich an dem präsentierten Bruchstück aber nicht erkennen.
22.08.2017, 21:52	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Begründung unseres Dozenten dazu war, dass das Spektrum immer eine abgeschlossene Menge ist. Nun ist 0 ja ein Häufungspunkt der Menge der Eigenwerte, dementsprechend mit der Begründung unseres Prof`s folgt, dass das Spektrum der Abschluss der Menge der Eigenwerte ist. Die Musterlösung sieht ab dem Punkt folgendermaßen aus: ,,Angenommen $\begin{align} \lambda \notin (\{ 1/k; k \in \mathbb{N} \}\cup 0 ) \end{align}$ . => $\begin{align} \exists \delta: \|\lambda -s\|<\delta \forall s \in (\{ 1/k; k \in \mathbb{N} \}\cup 0 ) \end{align}$ Somit $\begin{align} b=(\lambda E_n-T)a \end{align}$ => $\begin{align} b_k=(\lambda - \frac{1}{k})a_k \forall k\in \mathbb{N} \end{align}$ Weshalb: $\begin{align} \|\|a\|\|_{l^2}=\sqrt{\sum (\frac{b_k}{\lambda-1/k})^2}\leq \frac{1}{\delta}\sqrt{\sum (b_k)^2}=\frac{1}{\delta}\|\|b\|\|_{l^2} \end{align}$ Schlussfolgerung: $\begin{align} \forall b\in l^2(\mathbb{N}) \end{align}$ gibt es $\begin{align} a \in l^2(\mathbb{N}) \end{align}$ sodass $\begin{align} b=(\lambda E_n - T)a \end{align}$ => $\begin{align} \lambda E_n - T \end{align}$ ist surjektiv. Daher gilt $\begin{align} \lambda \in \rho(T) \ <=> \ \lambda \in \sigma(T) \end{align}$ Daher ist der Abschluss der Menge der Eigenwerte, das Spektrum."
22.08.2017, 22:04	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Sicher, das Spektrum enthält den Abschluss der Eigenwerte, warum aber soll es nicht noch größer sein? Das ist hier die Frage und genau das wird auch in der Musterlösung noch gemacht. Es wird ein beliebiger Punkt außerhalb des besagten Abschlusses genommen und gezeigt, dass er nicht im Spektrum liegt. Das ist aber so m.E. noch nicht wirklich vollständig und es sind auch Fehler enthalten, wie zum Beispiel die Äquivalenz am Ende, das ist Unsinn.
22.08.2017, 22:12	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, jetzt verstehe ich zumindest das konkrete Problem, warum diese Rechnung durchgeführt wird. Wie müsste ich denn im allgemeinen Vorgehen um das zu tun? Entschuldige die blöde Frage, aber bisher wusste ich nicht, dass man diesen Beweis führen kann. Die Äquivalenz hat mich auch verwirrt, denn es gilt ja eigentlich, dass $\begin{align} \sigma \end{align}$ das Komplement der Resolventmenge ist. Was fehlt denn deiner Meinung nach? Bzw. wie würdest du vorgehen?
22.08.2017, 22:37	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerstmal ist das $\begin{align} E_n \end{align}$ sinnlos. Das schreibt man gerne für die $\begin{align} n \end{align}$ -dimensionale Einheitsmatrix, also die Identität im $\begin{align} \mathbb R^n \end{align}$ bzw. $\begin{align} \mathbb C^n \end{align}$ . Das ist aber hier eine völlig unsinnige Notation, das $\begin{align} n \end{align}$ ist deplaziert. Stattdessen geht es hier um die Identität in $\begin{align} \ell^2(\mathbb N) \end{align}$ . $\begin{align} \operatorname{id} \end{align}$ oder $\begin{align} I \end{align}$ oder meinetwegen auch $\begin{align} E \end{align}$ wären deutlich sinnvollere Bezeichnungen. Zunächst wird die Inverse von $\begin{align} \lambda-T \end{align}$ formal berechnet. In der Lösung steht aber nur der erste Schritt. Die Konklusion, dass $\begin{align} (\lambda-T)^{-1}b = \left(\frac{b_k}{\lambda-1/k}\right)_k \end{align}$ ist, fehlt und wird nur implizit durch die nächste Zeile klar. Danach wird gezeigt, dass der dadurch definierte Operator einerseits wohldefiniert ist, da die Folge, die entsteht, endliche 2-Norm hat und andererseits sogar stetig ist. Da der besagte Operator rechtsinvers ist, und $\begin{align} \lambda-T \end{align}$ sowieso injektiv sein muss, haben wir damit eine beschränkte Inverse gefunden. In der Musterlösung fehlen einfach sämtliche Erklärungen, was überhaupt passiert und wichtige Zwischenschritte. Edit: Formatierung verbessert.
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22.08.2017, 22:44	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir für deine Erklärungen und Anmerkungen. Morgen werde ich mir das nochmal genau angucken und versuchen soweit nachzuvollziehen. So wie du die Musterlösung beurteilst, wundert es mich nicht mehr, dass ich da fast nur Bahnhof verstanden habe. Vielleicht hätte ich davon mehr ,,deuten" können, wenn ich mich besser in dem Gebiet auskennen würde, aber einen richtig tiefen Einblick in die Thematik zu gewinnen, war in unserer Vorlesung von Anfang an nicht so recht vorgesehen. Der Tenor war eher ,,Ihr seid Physiker, Ihr müsst zumindest wissen was Operatoren sind. Hier nehmt' ein bisschen Funktionalanalysis." Daher: Herzlichen Dank für deine Erläuterungen!
22.08.2017, 23:31	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann das gerne noch ausführlicher erläutern, wie eine richtige Lösung aussähe, darauf müsstest du allerdings ein paar Tage warten, bis ich wieder einen Pc zur Verfügung habe.
22.08.2017, 23:36	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch wenn ich in erster Linie gefragt hatte, weil ich am Freitag eine Klausur schreibe, die sich zu 1/3 mit den Grundzügen der Funktionalanalysis befasst, würde ich mich freuen auch darüberhinaus was zu diesem Thema dazuzulernen. Herzlichen Dank für dein Angebot!
26.08.2017, 18:41	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wie versprochen: Wir haben bereits gezeigt, dass $\begin{align} S:= \{1/k: k\in\mathbb N\}\cup\{0\}\subset\sigma(T) \end{align}$ . Für die umgekehret Unklusion nehmen wir $\begin{align} \lambda\in \mathbb C\setminus S \end{align}$ und zeigen $\begin{align} \lambda\notin \sigma(T) \end{align}$ . Da $\begin{align} S \end{align}$ kompakt ist, gibt es dann $\begin{align} \delta>0 \end{align}$ mit $\begin{align} \|\lambda-s\|>\delta \end{align}$ für alle $\begin{align} s\in S \end{align}$ . Wir suchen nun eine Inverse für $\begin{align} \lambda-T \end{align}$ . Die Überlegung $\begin{align} b = (\lambda-T)a \quad\Leftrightarrow\quad \forall k:~b_k = (\lambda-\frac 1k)a_k \quad\Leftrightarrow\quad \forall k:~ a_k = \frac{b_k}{\lambda-\frac 1k} \end{align}$ führt uns dazu, $\begin{align} U: \ell^2(\mathbb N)\to\ell^2(\mathbb N), b\mapsto \left(\frac{b_k}{\lambda-\frac 1k}\right)_k \end{align}$ zu definieren und die Rechnung aus der Musterlösung $\begin{align} \\|Ub\\|_2 = \sqrt{\sum \left(\frac{b_k}{\lambda-\frac 1k}\right)^2} \leq ...\leq \frac{1}{\delta}\\|b\\|_2 \end{align}$ zeigt, dass $\begin{align} Ub \end{align}$ wieder in $\begin{align} \ell^2 \end{align}$ liegt, also $\begin{align} U \end{align}$ wohldefiniert und sogar stetig ist mit Operatornorm $\begin{align} \frac 1\delta \end{align}$ . Weiter gilt aber offensichtlich $\begin{align} U(\lambda-T) = (\lambda-T)U = \operatorname{id}_{\ell^2(\mathbb N)} \end{align}$ , also ist $\begin{align} \lambda-T \end{align}$ invertierbar und somit $\begin{align} \lambda\in\rho(T) \end{align}$ , also $\begin{align} \lambda\notin \sigma(T) \end{align}$ . Ein paar Anmerkungen: 1) Die Stetigkeit von $\begin{align} U \end{align}$ müsste man nicht nachrechnen, die folgt automatisch aus dem Satz von der Umkehrabbildung, falls der zur Verfügung steht. Allerdings fällt die sowieso einfach mit ab, wenn man Wohldefiniertheit zeigt. 2) Es würde reichen, $\begin{align} (\lambda-T)U = \operatorname{id} \end{align}$ zu zeigen, denn dann ist $\begin{align} \lambda-T \end{align}$ surjektiv. Injektivität liegt sowieso vor, da $\begin{align} \lambda \end{align}$ kein Eigenwert von $\begin{align} T \end{align}$ ist. Das Punktspektrum ist schließlich in $\begin{align} S \end{align}$ enthalten. 3) Wenn man 1) und 2) beides beachtet, reicht es tatsächlich, Surjektivität von $\begin{align} \lambda-T \end{align}$ zu zeigen, das heißt wir brauchen nur für $\begin{align} b\in\ell^2(\mathbb N) \end{align}$ ein $\begin{align} a\in\ell^2(\mathbb N) \end{align}$ finden mit $\begin{align} b = (\lambda-T)a \end{align}$ . Dies wird durch die Umstellung in der Musterlösung erreicht und danach nachgerechnet, dass das so bestimmte $\begin{align} b \end{align}$ tatsächlich in $\begin{align} \ell^2(\mathbb N) \end{align}$ liegt. Daher ist die Musterlösung so schon richtig, es fehlen nur jegliche Erklärungen, warum sie richtig ist.

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