Stetigkeit

22.08.2017, 22:06

12Marcus

Stetigkeit

Meine Frage:
Servus, ich soll prüfen ob die Funktion Stetig ist bzw. an welchen Stellen die Funktion Stetig ist und an welchen Stellen die Funktion unstetig ist.

F: R-> R , x -> x falls x Rational
0 falls x Irrational

Meine Ideen:
Meine Idee bzw. Mein Beweis :

Nach dem Folgenkriterium ist eine Funktion Stetig an der Stelle x0 wenn für alle Folgen xn (mit xn Konvergent gegen x0 )
f(xn) gegen f(x0) Konvergiert.

Nun nehmen wir eine Folge (xn) die gegen x Konvergiert. Wir können aus der Folge 2. Teilfolgen bilden eine Rationale und eine irrationale teilfolge. Also (xi) für irrational und (xr) für Rational. Diese teilfolgen müssen auch gegen x Konvergieren und es gilt

xi Konvergiert gegen x und f(xi) Konvergiert gegen 0
xr Konvergiert gegen x und f(xr) Konvergiert gegen x

Nun für die Stetigkeit muss nun x=0 gelten. ( denn für 2.folgen die gegen x Konvergieren muss f(xi) und f(xr) gegen das selbe Konvergieren).

Also ist die Funktion für alle R/{0} nicht Stetig.

Stimmt der Beweis?

23.08.2017, 08:32

klarsoweit

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von 12Marcus
Nun nehmen wir eine Folge (xn) die gegen x Konvergiert. Wir können aus der Folge 2. Teilfolgen bilden eine Rationale und eine irrationale teilfolge.

Hm, an dieser Stelle gibt es ein Problem: für x=1 und die Folge $\begin{eqnarray*} x_n = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ wird es schwierig, eine irrationale Teilfolge zu finden.

23.08.2017, 10:27

12marcus

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RE: Stetigkeit
Hm heißt das jetzt der Beweis geht nicht ?

23.08.2017, 10:49

klarsoweit

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RE: Stetigkeit
Ja, leider. Ich würde den Beweis in zwei Teilen machen.

1. Teil: zeige die Stetigkeit in x_0 = 0
2. Teil: zeige die Unstetigkeit in allen anderen Stellen.

Zumindest für Teil 1 würde ich dabei nicht zu dem Folgenkriterium greifen.

23.08.2017, 12:51

12marcus

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RE: Stetigkeit
Stetigkeit in x0=0

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

Dann folgt nämlich aus $\begin{eqnarray*} |x-0| < \delta \end{eqnarray*}$ wegen f(x)=x oder f(x)=0

folgt stets : $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)| = |x| < \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

was zu zeigen war.

Unstetigkeit $\begin{eqnarray*} \forall x \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Nehmen wir an $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ sei eine Rationale Folge ungleich 0 und würde gegen

x Konvergieren. x ist nicht 0.

und $\begin{eqnarray*} y_{n} \end{eqnarray*}$ sei eine Irrationale Folge ungleich 0 und würde gegen x Konvergieren. x ist nicht 0.

Dann Folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{xn \to \infty } f( x_{n}) = x \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \lim_{yn \to \infty } f( y_{n}) = 0 \end{eqnarray*}$

da f(xn) ungleich f(yn) ist kann f nicht stetig sein.

stimmt das so

23.08.2017, 13:15

klarsoweit

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RE: Stetigkeit

Zitat:

Original von 12marcus
Dann folgt nämlich aus $\begin{eqnarray*} |x-0| < \delta \end{eqnarray*}$ wegen f(x)=x oder f(x)=0

folgt stets : $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)| = |x| < \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

Korrekt muß es lauten: $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(0)| \leq |x| < \delta = \epsilon \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von 12marcus
Nehmen wir an $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ sei eine Rationale Folge ungleich 0 und würde gegen

x Konvergieren. x ist nicht 0.

und $\begin{eqnarray*} y_{n} \end{eqnarray*}$ sei eine Irrationale Folge ungleich 0 und würde gegen x Konvergieren. x ist nicht 0.

Hier brauchst du die Eigenschaft, daß sich jede irrationale Zahl durch eine Folge rationaler Zahlen und jede rationale Zahl durch eine Folge irrationaler Zahlen annähern läßt. Wenn du das verwenden kannst, dann ok.

23.08.2017, 13:24

12marcus

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RE: Stetigkeit
Achso verwirrt

Ich weiss nicht ob ich das verwenden darf.

Was wäre denn eine Alternative für das Folgenkriterium?

23.08.2017, 13:25

12marcud

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RE: Stetigkeit
Also wie könnte ich es sonst mit dem Folgenkriterium zeigen ?

23.08.2017, 13:43

HAL 9000

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Du kannst es drehen und wenden wie du willst - in irgendeiner Weise wirst du benutzen müssen, dass sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in der Menge der reellen Zahlen liegen. Das bedeutet, dass es in jeder (noch so kleinen) Umgebung einer beliebigen reellen Zahl sowohl rationale als auch irrationale Zahlen gibt.

23.08.2017, 14:02

12marcus

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Ok dann lasse ich den Beweis so. Wie würde der Beweis aussehen das die rationalen und irrationalen Zahlen dicht in R ist

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