Potenzreihe untersuchen

23.08.2017, 13:00

Partialius

Potenzreihe untersuchen

Guten Morgen die Sorgen,

diese Potenzreihe muss ich auf ihren Konvergenzradius untersuchen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n^2}}{n!} \end{eqnarray*}$

Mit dem Wurzelkriterium gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|\frac{x^{n^2}}{n!}|} = \sqrt[n]{\frac{|x^{n^2}|}{n!}} = \frac{\sqrt[n]{|x^{n^2}|}}{\sqrt[n]{n!}} = \frac{\sqrt[n]{|x|^{n^2}}}{\sqrt[n]{n!}} = \frac{|x|^{n}}{\infty} \end{eqnarray*}$

Es ist also für $\begin{eqnarray*} |x| < 1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \frac{|x|^{n}}{\infty} = \frac{0}{\infty} = 0 < 1 \end{eqnarray*}$
und damit die Reihe schon mal hierfür Konvergent.

Was ist mit $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ ? Es ist dann: $\begin{eqnarray*} \frac{|x|^{n}}{\sqrt[n]{n!}} \ge \frac{|x|^{n}}{\sqrt[n]{n^n}} = \frac{|x|^{n}}{n} = \infty \end{eqnarray*}$ Denn die Exponentialfunktion wächst asymptotisch schneller als jede Potenzfunktion (in der Vorlesung bewiesen). Also ist insbesondere auch $\begin{eqnarray*} \frac{|x|^{n}}{\sqrt[n]{n!}} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ . Und die Reihe damit für diesen Fall sicherlich divergent.

Nun zuletzt die Randuntersucheung. $\begin{eqnarray*} |x| = 1 \end{eqnarray*}$ .
Für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} = e-1 \end{eqnarray*}$
also konvergent.

Für $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n^2} \cdot \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

Nun ist falls n gerade, auch $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ gerade. Analog für n ungerade. Damit ist die Reihe nun eine alternierende Reihe und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$ eine monton fallende Nullfolge. Mit dem Leibnizkriterium ist also die Reihe konvergent.

Damit ist der Konvergenzradius: R = 1, einschließlich des Randes.

Was haltet ihr von der Argumentation? Darf ich Leibniz auch verwenden, wenn in der Reihe nicht $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ steht sondern ein anderer Term solange die Glieder abwechselnd sind?

23.08.2017, 13:04

klarsoweit

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RE: Potenzreihe untersuchen
Mal abgesehen davon, daß so etwas:

Zitat:

Original von Partialius
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{|x|^{n^2}}}{\sqrt[n]{n!}} = \frac{|x|^{n}}{\infty} \end{eqnarray*}$

nicht geht, würde ich es eher mit dem Quotientenkriterium versuchen. smile

23.08.2017, 13:10

Partialius

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Zunächst danke für die Antwort. Warum geht obiges nicht? Es gilt ja nur für den Fall |x|<1. Und da arbeiten nun mal sowohl Zähler als auch Nenner "auf die 0 zu". Oder ist eine andere Umformung falsch?
Dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$ wurde in der Vorlesung bewiesen.

23.08.2017, 13:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Partialius
Dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$ wurde in der Vorlesung bewiesen.

Also das ganz gewiß nicht. Allenfalls, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$ ist.

Aber du kannst nicht von einem Teil des Terms den Grenzwert bilden und von dem Rest nicht. Und mit unendlich rechnen geht gar nicht.

23.08.2017, 13:35

Partialius

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Mit dem Quotinentenkriterium komme ich auch nicht viel weiter: $\begin{eqnarray*} |\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^{n^2}}| = \frac{|x|^{2n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Und nun mit der selben Argumentation, ist die Folge für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergent und damit die Reihe konvergent. Für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ geht die Folge gegen unendlich und damit ist die Reihe divergent.

23.08.2017, 13:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Partialius
Mit dem Quotinentenkriterium komme ich auch nicht viel weiter: $\begin{eqnarray*} |\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^{n^2}}| = \frac{|x|^{2n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$

Und nun mit der selben Argumentation, ist die Folge für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergent und damit die Reihe konvergent.

Tatsächlich kann man gleich $\begin{eqnarray*} |x|\leq 1 \end{eqnarray*}$ betrachten: Wir brauchen keine Nullkonvergenz des Quotienten, sondern nur, dass er kleiner als 1 ist. Und das ist er, da man für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ abschätzen kann

$\begin{eqnarray*} \frac{|x|^{2n+1}}{n+1} \leq \frac{1}{n+1} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Damit erübrigt sich deine Extrabetrachtung für x=1 und x=-1. Augenzwinkern

23.08.2017, 13:57

Partialius

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Ah ja schöne, einfache Abschätzung. Und für den Fall |x|>1, haut meine Abschätzung hin oder? Dann wäre alles Paletti.

23.08.2017, 14:07

HAL 9000

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Ja, wenn du das

Zitat:

Original von Partialius
Denn die Exponentialfunktion wächst asymptotisch schneller als jede Potenzfunktion (in der Vorlesung bewiesen).

benutzen darfst, dann ist das Ok. Ohne das kann man auch zu gegebenem $\begin{align*} |x|>1 \end{align*}$ konkret ein $\begin{align*} n_0 \end{align*}$ angeben, so dass tatsächlich $\begin{align*} \frac{|x|^{2n+1}}{n+1}>1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq n_0 \end{align*}$ gilt, was dann laut Quotientenkriterium Divergenz bedeutet, und das mit einem ziemlich elementaren Zugang:

Für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ gilt laut binomischer Formel $\begin{align*} |x|^{2n+1} = (1+(|x|-1))^{2n+1} > \binom{2n+1}{2}(|x|-1)^2 = n(2n+1)(|x|-1)^2 \geq n(n+1)(|x|-1)^2 \end{align*}$ . Hinreichend für $\begin{align*} \frac{|x|^{2n+1}}{n+1}>1 \end{align*}$ ist damit bereits $\begin{align*} n(|x|-1)^2 \geq 1 \end{align*}$ , was für $\begin{align*} n \geq \frac{1}{(|x|-1)^2} \end{align*}$ der Fall ist. Man kann also z.B. konkret $\begin{align*} n_0 = \left\lceil \frac{1}{(|x|-1)^2} \right\rceil \end{align*}$ wählen. Augenzwinkern

23.08.2017, 14:29

Partialius

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unglaublich, wie du es einfach aus dem Ärmel schüttelst

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