Beweis lineare Unabhängigkeit zweier Funktionen

23.08.2017, 18:09

Student1234

Beweis lineare Unabhängigkeit zweier Funktionen

Meine Frage:
Hey Leute,

ich setze aktuell an einem Übungsblatt bei dem ich die lineare Unabhängigkeit von Funktionen zeigen soll. Bei einem der beiden habe ich einen Lösungsansatz wo ich mir nicht ganz sicher bin ob er stimmt und beim anderem weiss ich nicht genau wie ich vorgehen soll.

Die Aufgabe: Wir betrachten den Vektorraum aller differenzierbarer Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie:

1)Die Funktionen $\begin{eqnarray*} e^{mx} \end{eqnarray*}$ sind für alle m = 1,...,n linear Unabhängig.

2) Die beiden Funktionen $\begin{eqnarray*} x^{n} \wedge e^{x} \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig.

Meine Ideen:
Mein Lösungsansatz für 1) war Induktiv

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}e^{ix} = 0 \Leftrightarrow \lambda_{i} = 0 \forall i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Induktionsbasis: Sei n = 2

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{2} \lambda_{i}e^{ix} = 0 \\ &= \lambda_{1}e^{x} + \lambda_{2}e^{2x} \\ &= e^{x}(\lambda_{1} + \lambda_{2}e^{x}) = 0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} e^{x}\neq 0 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} u(x) = \lambda_{1} + \lambda_{2}e^{x} = 0 \Rightarrow u'(x)= \lambda_{2}e^{x} = 0 \Rightarrow \lambda_{2} = 0 \end{eqnarray*}$
Mit $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} e^{x}(\lambda_{1} + \lambda_{2}e^{x}) = 0 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} e^{x}\lambda_{1}=0 \Rightarrow \lambda_{1} = \lambda{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Induktionsannahme: $\begin{eqnarray*} \exists n_{0} \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ für das gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n_{0}} \lambda_{i}e^{ix} = 0 \Leftrightarrow \lambda_{i} = 0 \forall i \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung: Es gilt auch
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n_{0} + 1} \lambda_{i}e^{ix} = 0 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n_{0} + 1} \lambda_{i}e^{ix} = 0 \\ \sum_{i=1}^{n_{0}} \lambda_{i}e^{ix} + \lambda_{i+1}e^{(i+1)x} = 0 \end{eqnarray*}$

Aus der Induktionsannahme weiss man $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n_{0}} \lambda_{i}e^{ix} = 0 \Leftrightarrow \lambda_{i} = 0 \forall i \end{eqnarray*}$ somit muss nur noch gezeigt werden

$\begin{eqnarray*} \lambda_{i+1}e^{(i+1)x} = 0 \Leftrightarrow \lambda_{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist allerdings trivial da $\begin{eqnarray*} e^{ix}\neq 0 \end{eqnarray*}$ also muss $\begin{eqnarray*} \lambda_{i+1} = 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Ich würde den Beweis so stehen lassen, bin mir allerdings nicht ganz sicher. Ich habe auch irgendwas gelesen, dass es auch über die Determinante gehen soll weiss da aber nicht wie.

-------------------------------------------------

Mein Lösungsansatz für 2) war:

$\begin{eqnarray*} \alpha x^{n} + \beta e^{x} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \beta = 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe dann die obige Gleichung als Funktion geschrieben
$\begin{eqnarray*} f(x)=\alpha x^{n} + \beta e^{x} \end{eqnarray*}$

und dann die Ableitung gebildet
$\begin{eqnarray*} f^{(1)}(x)=n\alpha x^{n-1} + \beta e^{x} \end{eqnarray*}$

Anschliessend habe ich Funktion $\begin{eqnarray*} u(x) \end{eqnarray*}$ gebildet, mit:
$\begin{eqnarray*} u(x) &= f(x) - f^{(1)}(x) \\ &= \alpha x^{n} + \beta e^{x} - (n\alpha x^{n-1} + \beta e^{x}) \\ &= \alpha x^{n} + \beta e^{x} - n\alpha x^{n-1} - \beta e^{x} \\ &= \alpha x^{n} - n\alpha x^{n-1}\\ &= \alpha x^{n} - n\alpha x^{n} x^{-1}\\ &= \alpha x^{n}(1 - n x^{-1}) \end{eqnarray*}$

Ab hier komm ich allerdings nicht mehr weiter...

EDIT: überflüssiges Gleichheitszeichen hinter Summensymbol entfernt. (klarsoweit)

Verschoben in Algebra.

26.08.2017, 10:40

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Worauf willst du mit deinem Ansatz bei der zweiten Aufgabe eigentlich hinaus? Wo geht die Voraussetzung ein?
Ich würde etwas anderes vorschlagen. Ich gehe davon aus, daß $\begin{align*} n \end{align*}$ eine ganze Zahl $\begin{align*} \geq 0 \end{align*}$ ist.

Im Falle $\begin{align*} n = 0 \end{align*}$ steht

$\begin{align*} \alpha + \beta \operatorname{e}^x = 0 \end{align*}$

da. Diese Beziehung soll für alle $\begin{align*} x \in \mathbb{R} \end{align*}$ gelten. Für $\begin{align*} x \to - \infty \end{align*}$ erhält man daraus $\begin{align*} \alpha = 0 \end{align*}$ , und setzt man das oben ein, erhält man mit $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ auch $\begin{align*} \beta = 0 \end{align*}$ .

Im Falle $\begin{align*} n>0 \end{align*}$ setzt man in

$\begin{align*} \alpha x^n + \beta \operatorname{e}^x = 0 \end{align*}$

für $\begin{align*} x=0 \end{align*}$ ein und erhält $\begin{align*} \beta = 0 \end{align*}$ . Damit steht nur noch $\begin{align*} \alpha x^n = 0 \end{align*}$ da. Und setzt man hierin $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ ein, folgt auch noch $\begin{align*} \alpha = 0 \end{align*}$ .

Und bei der ersten Aufgabe leuchtet mir die Argumentation beim Induktionsschritt nicht ein. Wenn die Summe zweier Vektoren 0 ist:

Zitat:

Original von Student1234

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n_{0} + 1} \lambda_{i}e^{ix} = 0 \\ \color{red} \sum_{i=1}^{n_{0}} \lambda_{i}e^{ix} \color{black} + \lambda_{i+1}e^{(i+1)x} = 0 \end{eqnarray*}$

heißt das nicht, daß der erste Summand 0 ist (im übrigen müßte der Index beim zweiten Summanden $\begin{align*} n_0+1 \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} i+1 \end{align*}$ heißen). Und damit ist der ganze Beweis hinfällig.
Auch ist $\begin{align*} i \end{align*}$ als Summationsindex keine gute Wahl, da Verwechslungsgefahr mit der imaginären Einheit besteht. Auch hier schlage ich eine Alternative vor.

Gehen wir also von einer Beziehung

$\begin{align*} \sum_{m=1}^n \lambda_m \operatorname{e}^{mx} = 0 \, , \ \ x \in \mathbb{R} \end{align*}$

aus, worin die $\begin{align*} \lambda_m \end{align*}$ feste reelle Zahlen sind. Man kann

$\begin{align*} t = \operatorname{e}^x \end{align*}$

substituieren und erhält damit

$\begin{align*} \sum_{m=1}^n \lambda_m t^m = 0 \, , \ \ t > 0 \end{align*}$

Wären nun nicht alle $\begin{align*} \lambda_m \end{align*}$ gleich 0, so hätte man auf der linken Seite ein Polynom von einem Grad $\begin{align*} \geq 1 \end{align*}$ . Für $\begin{align*} t \to \infty \end{align*}$ streben die Werte eines solchen Polynoms bekanntermaßen gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ oder $\begin{align*} - \infty \end{align*}$ . Das verträgt sich nicht mit der 0 auf der rechten Seite. Also müssen alle $\begin{align*} \lambda_m = 0 \end{align*}$ sein.

Neue Frage »

Antworten »

Beweis lineare Unabhängigkeit zweier Funktionen

Verwandte Themen