Binomialkoeffizient

24.08.2017, 10:21

Multiplizieren2

Binomialkoeffizient

Meine Frage:
Folgende Frage:

Wie lautet der Koeffizient x^4, y^2 in den Entwicklungen (nach dem Binomischen Lehrsatz) von:

(2x^2+2y)^4

Meine Ideen:
der binomische Lehrsatz ist mir bekannt, die Fragestellung "in den Enwticklungen" ist mir allerdings ein einziges Rätsel...

24.08.2017, 10:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von Multiplizieren2
Wie lautet der Koeffizient x^4, y^2 in den Entwicklungen (nach dem Binomischen Lehrsatz) von:

(2x^2+2y)^4

Leider hast du schon falsch abgeschrieben, worin sich schon inhaltliches Unverständnis äußert: Es geht nicht um einen Koeffizienten "x^4, y^2", sondern um den des Produktes x^4*y^2, besser geschrieben $\begin{align*} x^4\cdot y^2 \end{align*}$ .

Was kommt raus bei der Anwendung des Binomischen Satzes:

$\begin{align*} (2x^2+2y)^4 = (2(x^2+y))^4 = 2^4\cdot (x^2+y)^4 = 16\sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} (x^2)^k y^{4-k} = 16\sum_{k=0}^4 \binom{4}{k} x^{2k} y^{4-k}\qquad (*) \end{align*}$ .

Ok, nun geht es um das Summenglied mit dem Monom $\begin{align*} x^4y^2 \end{align*}$ . Der Abgleich mit $\begin{align*} x^{2k} y^{4-k} \end{align*}$ ergibt hinsichtlich der Exponenten $\begin{align*} 2k=4 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} 4-k=2 \end{align*}$ , das bedeutet folglich Index $\begin{align*} k=2 \end{align*}$ . Der zugehörige Koeffizient ist dann (Vorfaktor vor der Summe in (*) beachten!) wie groß?

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