Die Astroide

24.08.2017, 13:00

Maha

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Die Astroide

Meine Frage:
Hallo ich habe folgende Aufgabe und ich will diese Lösen nur habe ich eine frage zu dieser Aufgabe.

Die Aufgabe Lautet :

Berechnen Sie die Bogenlänge der Astroide.

Meine Ideen:
Nun die Astroide ist :

$\begin{eqnarray*} x^{2/3} +y^{2/3}= a^{2/3} \end{eqnarray*}$ .

ich habe mich dazu entschieden die Bogenlänge mit der Parameterdarstellung zu berechne.
Mein Problem : untergrenze und Obergrenze.

x(t)=a*cos(t)
y(t)= a*sin(t)

die Kleinste Zahl die wir für t einsetzen können ist -1
und die größte zahl ist +1 heißt das nun das die obergrenze 1 und die untergrenze -1 ist ?

Die Formel zur Berechnung :

$\begin{eqnarray*} \int_{t_{1} }^{t_{2} } \! \sqrt{x(t)'^2+y(t)'^{2}} \, dt \end{eqnarray*}$

24.08.2017, 13:05

Leopold

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siehe etwa hier

24.08.2017, 15:32

Maha

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Also gut so wie ich es verstanden habe muss ich

$\begin{eqnarray*} 4* \int_{0}^{a} \! \sqrt{1+y'(x)} \, dx \end{eqnarray*}$

berechnen. Mit y= $\begin{eqnarray*} \sqrt[\frac{2}{3} ]{a^{\frac{2}{3} }-x^{\frac{2}{3}} } \end{eqnarray*}$

y'= $\begin{eqnarray*} \frac{3(a^{2/3}+x^{2/3})^{1/2} }{2} *\frac{2}{3}*x^{-1/3} \end{eqnarray*}$

daraus Folgt y'= $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{a^{2/3}+x^{2/3}} }{\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a} \! \sqrt{1+ (\frac{\sqrt{a^{2/3}+x^{2/3}} }{\sqrt[3]{x}})^2 } \, dx \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a} \! \sqrt{1+ \frac{a^{2/3}+x^{2/3} }{x^{2/3}} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a} \! \sqrt{ \frac{a^{2/3}+2x^{2/3} }{x^{2/3}} } \, dx \end{eqnarray*}$

Bevor ich weiter mache ist bis jetzt alles richtig ?

24.08.2017, 15:46

Maha

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Ich habe als Endergebnis 4a raus geschockt

geschockt

stimmt das Chef ?

24.08.2017, 16:03

Maha

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Ah nein ich meine ich habe a raus

24.08.2017, 16:15

Leopold

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Der Integrand muß $\begin{align*} \sqrt{1+y'^{\color{red} \, 2}} \end{align*}$ heißen (später scheint es zu stimmen). Und dann hast du bei $\begin{align*} y' \end{align*}$ noch aus einem Minus unvermittelt ein Plus gemacht.

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24.08.2017, 16:36

Maha

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ups..

ich bin so dumm..

die Ableitung muss heißen y'= $\begin{eqnarray*} -\frac{\sqrt{a^{2/3}-x^{2/3}} }{\sqrt[3]{x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a} \! \sqrt{1- \frac{a^{2/3}-x^{2/3} }{x^{2/3}}} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a} \! \sqrt{\frac{-a^{2/3}+2x^{2/3} }{x^{2/3}}} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a} \! \frac{\sqrt{-a^{2/3}+2x^{2/3} }}{x^{1/3}} \, dx \end{eqnarray*}$

und daraus Folgt :

a verwirrt

verwirrt

ich kriege trotzdem a raus unglücklich

unglücklich

24.08.2017, 17:17

Leopold

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$\begin{align*} \sqrt{1 \color{red} + \color{black} y'^{\, 2}} \end{align*}$

24.08.2017, 17:33

HAL 9000

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Das Fehlerbild $\begin{align*} (-t)^2 \stackrel{?}{=} -t^2 \end{align*}$ hat sicher gute Chancen auf einen Platz im Vorderfeld der Hitliste...

24.08.2017, 17:47

Leopold

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Na ja, ob's das war? Es könnte auch einfach eine Nachlässigkeit gewesen sein: plus oder minus - wen interessiert so was ...

Zitat:

Original von Maha
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a} \! \frac{\sqrt{-a^{2/3}+2x^{2/3} }}{x^{1/3}} \, dx \end{eqnarray*}$

Hier sollte man stutzig werden. Denn der Radikand ist in einem Teilintervall des Integrationsbereichs negativ. Da kann nichts Sinnvolles herauskommen, insbesondere nicht $\begin{align*} a \end{align*}$ .

24.08.2017, 18:23

Maha

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@Hal9000
Warum so gemein? Für was ? Langweile?

@Leopold

Kannst du mir dann bitte helfen

24.08.2017, 18:29

Leopold

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Zitat:

Original von Maha
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{a} \! \sqrt{1 \color{red} - \color{black} \frac{a^{2/3}-x^{2/3} }{x^{2/3}}} \, dx \end{eqnarray*}$

Falsches Rechenzeichen, das ist alles.

24.08.2017, 18:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Maha
Warum so gemein? Für was ? Langweile?

Warum so mimosenhaft überempfindlich? Statt Energie in solche lächerlichen Angriffe zu verschwenden solltest du besser mal über Leopolds Anmerkung nachdenken. unglücklich

unglücklich

24.08.2017, 18:57

Maha

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Ok danke Leopold.
Ich kann es trotzdem nicht nachvollziehen weshalb Hal9000 sich so lustig macht über meine Fehler.
Das ist Demütigend finde ich. Man kann es doch auch auf eine ganz normalen weise jemanden sagen das er einen Fehler gemacht hat. Sowas kann nun mal passieren ich beschäftige mich mit mehreren Aufgaben gleichzeitig und versuche die Aufgaben schnell durchzuarbeiten sogar wenn ich in der Bahn bin.

@Leopold:

Ich bin jetzt auf 3a gekommen und das ganze mal 4 = 12a ist das richtig ?

24.08.2017, 19:00

HAL 9000

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@Maha

Komm mal zurück auf den Boden. Ich hab mich nur allgemein dazu geäußert, dass man dieses Fehlerbild häufiger sieht, völlig unpersönlich. Und du reagierst so als hätte ich etwas gesagt wie "Bist du zu blöd zum Quadrieren?" So was würde ich nie posten - wenn du sowas da reininterpretierst, ist das wohl dein Problem. Aber ich werde dich in Zukunft nicht mehr belästigen - ich bereue es jetzt schon, jemanden wie dir in anderen Threads schon geholfen zu haben. Finger2

Finger2

24.08.2017, 19:06

Maha

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@Hal9000
Achso dann habe ich dich falsch verstanden Hal9000 und Es tut mir leid dafür. Ja ich schätze deine Hilfe sehr vielen Dank das du mir geholfen hast und sorry nochmal für das missverständnis

24.08.2017, 19:16

HAL 9000

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Na dann bin ich ja beruhigt. Es war wirklich als allgemeine statistische Beobachtung gedacht, d.h., über alle Fragesteller gesehen: Vorzeichenfehler sind eben etwas sehr häufig anzutreffendes (auch ich bin davor nicht gefeit), und insbesondere der oben von mir genannte Fehler tritt z.B. sehr häufig bei fehlerhafter Taschenrechner-Bedienung auf.

24.08.2017, 19:24

Maha

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@Hal9000 : Ja ich verstehe jetzt ganz genau was du meinst tut mir wirklich sehr leid.

Übrigens ist mein ergebnis richtig? Forum Kloppe

Forum Kloppe

24.08.2017, 19:26

HAL 9000

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Nein, leider nicht: Du solltest jetzt bei

$\begin{align*} 4\int\limits_0^a \frac{a^{1/3}}{x^{1/3}} ~ \dd x \end{align*}$

sein - wie hast du da weiter gerechnet?

24.08.2017, 19:30

Maha

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Ja genau da bin ich. Nur ich habe das als Betrag geschrieben also so

$\begin{eqnarray*} 4\int_{0}^{a} \! \frac{|a|^{1/3}}{|x|^{1/3}} \, dx \end{eqnarray*}$

oder braucht man das nicht ? verwirrt

verwirrt

Danke Hal9000 smile

smile

24.08.2017, 19:34

HAL 9000

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Es ist a>0, und im betrachteten Integrationsintervall ist auch x>0, da kann man getrost auf die Betragsstriche verzichten.

P.S.: Nach jedem Beitrag bedanken ist etwas übertrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.08.2017, 19:58

Maha

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Ja genau Wie würdest du mir nun empfehlen die Stammfunktion zu bilden ?

24.08.2017, 20:02

HAL 9000

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Es ist eine ganz normale Potenzfunktion. Und da hat man die Stammfunktion $\begin{align*} \int x^{\alpha} ~ \dd x = \frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C \end{align*}$ .

24.08.2017, 20:16

Maha

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$\begin{eqnarray*} 4a \int_{0}^{a} \! \frac{1}{x^{1/3}} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a \int_{0}^{a} \! x^{-1/3} \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a \int_{0}^{a} \! \frac{x^{2/3}}{\frac{2}{3} } \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a \left[ \frac{3x^{2/3}}{2 }\right]_{0}^{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a \frac{3a^{2/3}}{2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{12a^{5/3}}{2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6a^{5/3} \end{eqnarray*}$

und jetzt

24.08.2017, 20:26

Leopold

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Ich habe einen Fehler korrigiert. Er pflanzt sich in deiner Rechnung fort.

Zitat:

Original von Maha [mit Korrektur]
$\begin{eqnarray*} 4a^{\color{blue} \frac{1}{3}} \int_{0}^{a} \! \frac{1}{x^{1/3}} \, dx \end{eqnarray*}$

Sonst stimmt deine Rechnung jetzt. In der Musterlösung solltest du aber unbedingt noch Gleichheitszeichen setzen.

24.08.2017, 20:50

Maha

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Stimmt sorry :/

Dann würde sich mein ergebnis ändern zu 6a

24.08.2017, 21:06

Leopold

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Da paßt das Wowereit-Zitat, 2. Teil.

24.08.2017, 21:12

Maha

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hä was meinst du Big Laugh

Big Laugh

24.08.2017, 21:16

Leopold

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Zitat:

Original von Maha
Dann würde sich mein ergebnis ändern zu 6a

... und das ist auch gut so!

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