Reihenkonvergenz

24.08.2017, 15:23

dubbox

Reihenkonvergenz

Meine Frage:
Ich habe eine Frage, in den Altklausuren bin ich auf folgende Aufgabe gestoßen:

Geben sie sämtliche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ an für welche die Reihe konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty}( \sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1 k \cdot x^n) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich stehe leider auf Kriegsfuß mit Reihen aus Reihen Big Laugh

aber hier meine Idee, ich behandele das in zwei schritten

1.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1 k \cdot x^n \end{eqnarray*}$ jetzt wenden wir das Wurzelkriterium für Potenzreihen an.
$\begin{eqnarray*} a_k=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1 k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_k} =\lim_{k \to \infty} \frac 1 {\sqrt[k]{k}} = \frac 1 1 = 1 \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert die Reihe für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R:|x|<\frac 1 1 = 1 \end{eqnarray*}$ und divergiert für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R:|x|>\frac 1 1=1 \end{eqnarray*}$ . Es bleiben die Randpunkte mit $\begin{eqnarray*} |x|=1 \end{eqnarray*}$ zu überprüfen. Mit $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist es die Harmonische Reihe und diese divergiert, mit $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$ ist es die alternierende Harmonische Reihe und diese konvergiert.

Jetzt fehlt mir nur ein Satz oder eine Regel, was mit einer Reihe aus einer konvergenten Reihe bzw. divergenten Reihe passiert. Gibt es hier etwas? Finde leider nicht im Skript, kann aber auch gut sein das ich es einfach überlese.

24.08.2017, 15:30

klarsoweit

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RE: Reihen - Konvergenz - Bestimmen sie alle x...

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} a_k=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac 1 k \end{eqnarray*}$

Ähh, meinst du nicht eher a_k = 1/k ?

24.08.2017, 15:46

dubbox

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Entschuldige ja das meine ich, war mir grad beim schreiben nicht mehr sicher ob ich dann die Summe noch dazu schreibe oder nicht

24.08.2017, 15:49

IfindU

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Ich glaube du meinst eher $\begin{eqnarray*} a_n := \sum_{k=1}^n \frac 1 k \end{eqnarray*}$ . Wichtig ist, dass $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ in der ursprünglichen Aufgabe stand. Damit untersucht man $\begin{eqnarray*} \sum_{n = 1}^\infty a_n x^n \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz/Divergenz.

Edit: Leider nur die Aufgabe gelesen und nicht sauber die Lösung. Ich korrigiere: Du solltest das meinen.

24.08.2017, 16:10

dubbox

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Ja war mir nur dann net sicher bei der limes formulierung, und habs dann umgeschrieben aber so sieht es richtig aus.

Das was ich gemacht habe sollte ja soweit richtig sein oder? Nur wie erkenne oder begründe ich jetzt was jetzt passiert wenn das zweite Summenzeichen ins spiel kommt?

24.08.2017, 16:10

HAL 9000

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Eine brachiale Abschätzung für $\begin{align*} a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \end{align*}$ ergibt $\begin{align*} 1\leq a_n\leq n \end{align*}$ , die reicht vollkommen aus für Wurzelkriterium resp. Cauchy-Hadamard. Augenzwinkern

Die Reihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n \end{align*}$ divergiert übrigens sowohl für $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ als auch für $\begin{align*} x=-1 \end{align*}$ , in beiden Fällen schlicht wegen $\begin{align*} |a_nx^n| = a_n\geq 1 \end{align*}$ , d.h. Reihenglieder bilden keine Nullfolge.

Für $\begin{align*} -1<x<1 \end{align*}$ ist der Reihenwert gleich $\begin{align*} -\frac{\ln(1-x)}{1-x} \end{align*}$ .

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