Polarkoordinaten Bogenlänge berechnen

24.08.2017, 20:35

Maha

Polarkoordinaten Bogenlänge berechnen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe:

Aufgabe: Berechnen Sie die Bogenlänge der gesamten Kurve

$\begin{eqnarray*} r= a*sin^3(\frac{\phi}{3}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also ich würde eigentlich Direkt loslegen aber ich frage mich was die Ober und untergrenze ist. Ich vermute das die untergrenze 0 ist und die obergrenze 2pi stimmt das erstmal ?

Danke an alle Helfer

24.08.2017, 21:00

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Sinus ist bei pi Null
man braucht also 3*pi damit 3*pi/3 wieder Null ist

von 0 bis 3*pi

24.08.2017, 21:00

Leopold

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In der Polardarstellung wird in Regel $\begin{align*} r \geq 0 \end{align*}$ vorausgesetzt (manchmal läßt man allerdings auch negative Radien zu, die dann in der zum Argument entgegengesetzten Richtung abgetragen werden). Nimm also ein möglichst großes Intervall $\begin{align*} [0,b] \end{align*}$ , so daß $\begin{align*} r \end{align*}$ nicht negativ ausfällt. Und das bestimmt dir dann auch die Integrationsgrenzen für die Längenberechnung.

24.08.2017, 21:25

Maha

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Also gut Leopold:

r darf nicht negativ sein d.h

r= $\begin{eqnarray*} a*sin^{3(\phi/3) \end{eqnarray*}$

Dafür muss a>=0 sein und $\begin{eqnarray*} sin^{3}(\phi/3) >=0 \end{eqnarray*}$

von 0 bis pi ist Sinus nicht negativ. Das heißt doch von 0 bis 3pi stimmt das ?

24.08.2017, 22:23

Maha

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Leopold oder Hal9000

ich habe jetzt eine Lösung aber mit einigen Problemen verwirrt

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3\pi} \! \sqrt{a^2sin^{6}(\frac{\phi}{3} )+sin^{4}(\frac{\phi}{3})cos^{2}(\frac{\phi}{3} )*a^2 } \, d\phi \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3\pi} \! \sqrt{a^2*sin^4(\frac{\phi}{3})*(sin^2(\frac{\phi}{3})+cos^2(\frac{\phi}{3})) } \, d\phi \end{eqnarray*}$ )

= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3\pi} \! \sqrt{a^2*sin^4(\frac{\phi}{3} )} \, d\phi \end{eqnarray*}$ )

= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{3\pi} \! a*sin^2(\frac{\phi}{3} ) \, d\phi \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} a \int_{0}^{3\pi} \! sin^2(\frac{\phi}{3} ) \, d\phi \end{eqnarray*}$ )

Also müssen wir das Integral Lösen.
Nun habe ich über 2 verschiedene Lösungmethoden gelesen.

Einmal :

Potenz Reduzieren mit Winkelvielfachen.

sin(x)*sin(y)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(cos(x-y)-cos(x+y)) \end{eqnarray*}$ )

Nur mein Problem ist warum ?
wie kommt man zu dieser Folgerung kann mir das vllt einer sagen ?

ansonsten nachdem ich die Stammfunktion gelöst habe bekomme ich :

3/2 pi stimmt das ?

25.08.2017, 00:13

Dopap

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ja, das stimmt !

25.08.2017, 02:47

Maha

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Kann jemand noch meine andere Frage beantworten bitte.. ?

25.08.2017, 07:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Maha
sin(x)*sin(y)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*(cos(x-y)-cos(x+y)) \end{eqnarray*}$ )

Nur mein Problem ist warum ?
wie kommt man zu dieser Folgerung kann mir das vllt einer sagen ?

Fällt unter den Oberbegriff Additionstheoreme.

Warum? Na weil der umgeformte Term der Integration besser zugänglich ist als $\begin{align*} \sin^2 \end{align*}$ .

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