Anfangswertproblem - Satz von Picard-Lindelöf

25.08.2017, 10:03

dubbox

Anfangswertproblem - Satz von Picard-Lindelöf

Meine Frage:
Wieder eine Altklausuraufgabe ohne Lösung:

1.
Lösen Sie das Anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} y'(t)=t\cdot(y(t))^2\\ y(0)=1\end{cases} \end{eqnarray*}$

mittels Trennung der Variablen.

2.
Sei $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein abgeschlossenes Intervall mit $\begin{eqnarray*} \pi\in I \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass das Anfangswertproblem

$\begin{eqnarray*} \begin{cases} y'(t)=y(t)\cdot sin(t), t\in I\\ y(\pi)=0\end{cases} \end{eqnarray*}$

eine eindeutige Lösung besitzt.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Picard-Lindelöf.

Meine Ideen:
Zu 1.

$\begin{eqnarray*} y'(t)=t\cdot(y(t))^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {dy}{dt}=t\cdot(y(t))^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {1}{(y(t))^2}dy=tdt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \int (y(t))^{-2}dy= \int tdt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {-1}{y(t)} +c_1=\frac 1 2 t^2 +c_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac {-1} {\frac {1} {2} t^2 +c}=y(t), c=c_2-c_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0) = \frac {-1} {c} = 1 \Rightarrow c=-1 \Rightarrow y(t)=\frac {-1} {\frac {1} {2} t^2 -1} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig gelöst?

Zu 2.
Also wenn ich ehrlich bin, habe ich hier keine wirkliche Ahnung.
Ich probier es aber mal, habe mit dem Satz noch nie gearbeitet, ist der letzte im Skript für dieses Semester gewesen, also habt nachsicht Big Laugh

Also die Bedingungen für den Satz von PL (nenn ich mal so) sind ja gegeben. Ich habe ein Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ und eine Funktion die differenzierbar somit auch stetig sein muss. Jetzt muss ich also die Lipschitzbedingung zeigen und dann wäre schon gezeigt das das AWP eine eindeutige Lösung bestitz wenn ich das richtig verstanden habe.
Aber hierzu steht im Skript folgendes

$\begin{eqnarray*} ||f(t,y_1)-f(t,y_2)||\leq|L||y_1-y_2|| \text{ für alle } t\in I \text{ und } y_1,y_2 \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

Woher bekomme ich meine $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ da ja ich hier ja im eindimensionalen agiere. Ich bin etwas verwirrt durch die formulierung des Satzes.

25.08.2017, 10:22

HAL 9000

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Zu 1.) Die Lösungsfunktion stimmt. Ich würde allerdings noch mit angeben, in welchem maximal ausgedehnten Intervall um deine Anfangsstelle t=0 herum diese Lösung gültig ist.

Zu 2.) Zur Anwendung von PL, was auf die Überprüfung der genannten Lipschitzbedingung hinausläuft, musst du dir natürlich zunächst im klaren sein, wie dieses f in deinem konkreten Fall aussieht! Wie sieht's damit hier aus?

Zitat:

Original von dubbox
Woher bekomme ich meine $\begin{eqnarray*} y_1,y_2 \end{eqnarray*}$ da ja ich hier ja im eindimensionalen agiere. Ich bin etwas verwirrt durch die formulierung des Satzes.

$\begin{align*} n \end{align*}$ ist die Vektordimension deiner Zielfunktion. Wenn wie hier $\begin{align*} y(t) \end{align*}$ einfach eine reellwertige Funktion ist, dann ist schlicht $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ , und die Norm $\begin{align*} \|\cdot\| \end{align*}$ ist auch einfach der Betrag $\begin{align*} |\cdot| \end{align*}$ .

25.08.2017, 10:46

dubbox

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zu 1.)
Wie bekomme ich dieses Intervall? Habe das so noch nie angegeben.

zu 2.)
Nunja wir haben ja

$\begin{eqnarray*} f'(t)=f(t)\cdot sin(t) \end{eqnarray*}$ Aber mit Trennung der Variablen komme ich nicht auf $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'(t)=y(t)\cdot sin(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int \frac 1 {y(t)}dy=\int sin(t)dt \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0\cdot y(t)^0 = cos(t) \end{eqnarray*}$ also hier mache ich auf der linkenseite einen Fehler denke ich Big Laugh

Wenn ich $\begin{eqnarray*} f(t)=y(t) \end{eqnarray*}$ hätte würde ich dann die folgende Ungleichung zeigen wollen

$\begin{eqnarray*} |f(t)-f(\pi)|\leq L|t-\pi| \end{eqnarray*}$ ? Ist eher geraten als gewusst, aber ich habe ja nur diese beiden Werte zur verfügung, dann ergäbe das ja durch $\begin{eqnarray*} f(\pi)=0 : |f(t)|\leq L|t-\pi| \end{eqnarray*}$ oder bin ich hier auf dem Holzweg?

25.08.2017, 10:52

dubbox

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Oh wäre nicht

$\begin{eqnarray*} \int \frac 1 {y(t)}dy=\int sin(t)dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(y(t)) = cos(t) \end{eqnarray*}$ ?

25.08.2017, 10:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von dubbox
zu 1.)
Wie bekomme ich dieses Intervall? Habe das so noch nie angegeben.

Wenn du kein Intervall nennst, muss ich davon ausgehen, dass deine Lösung auf ganz $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ gültig ist.

Ok: Wie groß ist $\begin{align*} y(\sqrt{2}) \end{align*}$ ? Augenzwinkern

Zitat:

Original von dubbox
zu 2.)
Nunja wir haben ja

$\begin{eqnarray*} f'(t)=f(t)\cdot sin(t) \end{eqnarray*}$

Anscheinend bist du mit der Symbolik komplett durcheinandergeraten: Mit dem $\begin{align*} f \end{align*}$ im Satz von PL ist NICHT die Lösungsfunktion der DGL gemeint, jene ist hier $\begin{align*} y=y(t) \end{align*}$ .

Schau genau in die Voraussetzungen: Es wird die DGL $\begin{align*} y'(t)=f(t,y(t)) \end{align*}$ betrachtet. Bezogen auf die DGL $\begin{align*} y'(t)=y(t)\cdot \sin(t) \end{align*}$ ist mit $\begin{align*} f \end{align*}$ also schlicht die Funktion $\begin{align*} f(t,y)=y\cdot \sin(t) \end{align*}$ (in dem Kontext ist $\begin{align*} y \end{align*}$ einfach eine reelle Variable - keine Funktion!!!)

Es geht also eine Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ in das Kriterium ein, die wir bereits zu Beginn der Untersuchungen kennen - nicht die Lösungsfunktion $\begin{align*} y(t) \end{align*}$ , deren Existenz ja damit gerade erst zu diskutieren ist! Letzteres wäre ja ein perfekter Zirkelschluss, und damit Unfug.

28.08.2017, 10:07

dubbox

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So, war über das Wochenende weg, deswegen komme ich erst jetzt zum Antworten

Okay also $\begin{eqnarray*} y(\sqrt 2) \end{eqnarray*}$ existiert nicht, da ich nicht durch Null teilen darf Big Laugh

aber bekomme ich dann ein intervall oder eine Menge? Sonst würde ich sagen die Lösung gilt für alle $\begin{eqnarray*} t\in \mathbb R : \frac 1 2 t^2 -1 \neq 0 \Leftrightarrow |t| \neq \sqrt 2 \end{eqnarray*}$

zu 2.

Ah jetzt versteh ich das Big Laugh

war schon wirklich verwirrt, danke
also

$\begin{eqnarray*} f(t,y) = y \cdot sin(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |(y_1\cdot sin(t))-(y_2\cdot sin(t))|\leq L|y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow|(y_1- y_2)\cdot sin(t)|\leq L|y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow|y_1- y_2|\cdot|sin(t)|\leq L|y_1-y_2| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow L\geq |sin(t)| \end{eqnarray*}$

Da ein solches L existiert, sollte auch schon alles gezeigt sein oder?

28.08.2017, 10:24

HAL 9000

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Definitionsbereiche der Lösungen eines Anfangswertproblems (AWP) sind nicht irgendwelche Teilmengen von $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ , sonder stets Intervalle (!), welche die Anfangsstellen enthalten. Was jenseits irgendwelcher Polstellen wie hier $\begin{align*} t=\pm\sqrt{2} \end{align*}$ passiert, mag relevant für die allgemeine Lösung der DGL sein, nicht aber für das AWP. D.h., die Lösung des vorliegenden AWP wäre hier mit

$\begin{align*} y(t) = \frac{-1}{\frac{1}{2}t^2 -1} = \frac{2}{2-t^2} \end{align*}$ für $\begin{align*} t\in (-\sqrt{2},\sqrt{2}) \end{align*}$

anzugeben.

Zitat:

Original von dubbox
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow L\geq |sin(t)| \end{eqnarray*}$

Da ein solches L existiert, sollte auch schon alles gezeigt sein oder?

Man kann sich auch deutlich äußern: $\begin{align*} L=1 \end{align*}$ ist eine passende Wahl. Augenzwinkern

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