Inverse des adjungierten Operators

25.08.2017, 11:49	muphys	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse des adjungierten Operators Hallo zusammen! Ich benötige bei einem Beweis eure Hilfe, da ich überhaupt keinen Ansatz finde, die Aussage zu beweisen. Die Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und $\begin{eqnarray} T \in \mathrm{End}(V) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass wenn $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ invertierbar ist, so ist es auch $\begin{eqnarray} T^ \end{eqnarray}$ und es gilt: $\begin{eqnarray} (T^)^{-1} = (T^{-1})^ \end{eqnarray*}$ . Vielen Dank schon im Vorraus! Muphys
25.08.2017, 12:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inverse des adjungierten Operators Du musst doch nur zeigen, dass $\begin{eqnarray} T^ (T^{-1})^* = (T^{-1})^* T^* = id \end{eqnarray}$ ist. Dafür könntest du z.B. zeigen, dass $\begin{eqnarray} \\| x - T^* (T^{-1})^x\\|^2 = \langle x - T^ (T^{-1})^x, x - T^ (T^{-1})^x \rangle = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Damit ist nach Definitheit der Norm $\begin{eqnarray} x =T^ (T^{-1})^x \end{eqnarray}$ .

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