DGL Gleichung auflösen mit ln

25.08.2017, 13:50

Laubi

DGL Gleichung auflösen mit ln

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgendes kleines Problem. Thema Trennung der Variablen mit folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray*} y'+\frac{y}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Nach der Trennung soll als Ergebnis rauskommen:
$\begin{eqnarray*} ln(|y|)=-ln(x)+ c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |y|=c(dach)\frac{1}{x}, c(dach)>0 \end{eqnarray*}$

mit c(dach) soll ein C mit Strich oder Dach sein, kann irgendwie nicht dargestellt werden, aber ich denke ihr wisst was ich meine. ;-)

Meine Ideen:
Ich habe als Lösung:

$\begin{eqnarray*} ln(|y|)=-ln(x)+ c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |y|=-x+e^c, e^c=c(dach) \end{eqnarray*}$

Ich kann mir nicht erklären, wo in der Lösung der Bruch 1/x her kommt und warum nutzt man den Betrag von y?

Vielen Dank!

25.08.2017, 13:56

HAL 9000

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Die Schritte, die dich von $\begin{align*} -\ln(x)+c \end{align*}$ zu $\begin{align*} -x+e^c \end{align*}$ führen, können nur unter Missachtung der Logarithmen- und Potenzregeln zustande gekommen sein. unglücklich

Zunächst mal steht rechts $\begin{align*} \exp(-\ln(x)+c) \end{align*}$ , und das muss eben richtig umgeformt werden.

Zitat:

Original von Laubi
warum nutzt man den Betrag von y?

Weil $\begin{align*} \int \frac{1}{y} ~ \dd y = \ln|y| + C \end{align*}$ die auch die negative reelle Achse beachtende Darstellung der Stammfunktion ist - wird gern übersehen. Auch rechts sollte zunächst besser $\begin{align*} \ln|x| \end{align*}$ stehen, zumindest wenn man die DGL auch für negative Argumente betrachten will.

25.08.2017, 14:01

klarsoweit

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RE: DGL Gleichung auflösen mit ln
Ohnehin müßte es hier:

Zitat:

Original von Laubi
Nach der Trennung soll als Ergebnis rauskommen:
$\begin{eqnarray*} ln(|y|)=-ln(x)+ c \end{eqnarray*}$

doch eigentlich $\begin{eqnarray*} ln(|y|) = -ln(|x|) + c \end{eqnarray*}$ heißen.

Übrigens: ein c(dach) geht so: $\begin{eqnarray*} \hat c \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

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