Anzahl möglicher Fächer

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25.08.2017, 16:59

Rivago

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Anzahl möglicher Fächer

Hallo

Ich seit langem mal wieder smile

Ein Schrank ist 900 mm hoch. In diesem befinden sich Schubfächer. Für die Schubfächer stehen folgende Höhen zur Verfügung:

- 50 mm
- 100 mm
- 150 mm
- 200 mm

Der Kunde kann auswählen, wie viele Fächer er von jeder Größe haben will, um auf die 900 mm zu kommen.
Er kann also bspw. 18 mal 50 mm verwenden, oder 9 mal 100 mm, oder 4 mal 200 mm + 1 mal 100 mm, oder ..., oder...
Nicht möglich wäre bspw. 4 mal 200 mm + 1 mal 150 mm.

Kann mir jemand dabei helfen, die Anzahl möglicher Kombinationen zu finden? smile

Ich hatte leider weder während meiner Realschulzeit noch in der Zeit des Fachabiturs noch in der Zeit während des sich dem Ende neigenden Studiums etwas mit Kombinatorik zu tun und bin daher ratlos, wie man sowas löst verwirrt

Danke und ein schönes Wochenende!

25.08.2017, 20:34

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Könnten 84 sein
Bin aber nicht ganz sicher,weil die 200 nicht genau in die 900 hineinpassen

25.08.2017, 21:21

Rivago

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Hm schade.. Wie kommst du denn auf die 84? Lässt sich das in Formeln ausdrücken?

25.08.2017, 21:53

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Bin mir nicht sicher

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{95}-1 }{x^{5} -1} \cdot \frac{x^{100}-1 }{x^{10} -1}\cdot \frac{x^{105}-1 }{x^{15} -1}\cdot \frac{x^{110}-1 }{x^{20} -1} \end{eqnarray*}$

Das jetzt ausmultiplizieren und dann den Koeffizient vor x^90 nehmen

25.08.2017, 22:07

Rivago

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Aha

25.08.2017, 23:22

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Also der Wert stimmt
Das ist sicher

26.08.2017, 00:56

Dopap

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mein TR kann das bestätigen.
Kann das "Zahlenmonster" das Prinzip etwas erläutern ?

26.08.2017, 07:41

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Zitat:

Original von Dopap
mein TR kann das bestätigen.
Kann das "Zahlenmonster" das Prinzip etwas erläutern ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to n} Ahxung=0 \end{eqnarray*}$

Hast du dir sicher schon gedacht

Es gibt noch die Partitionsfunktion
Aber auch da arbeite ich noch an einer Erklärung

26.08.2017, 10:06

Rivago

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Okay, danke mal soweit smile

Wäre natürlich noch toll, wenn man das auch begründen kann. Mir ist auch nicht klar, wie da oben dieser riesige Term zu Stande kommt. Und warum ausgerechnet der Wert vor x^90. Warscheinlich wegen 900 verwirrt

Man kann das jetzt noch verschärfen Big Laugh

Was ist, wenn der Kunde auch noch auswählen kann, wo genau er welche Fächer haben möchte?
Anbei mal ein Bild mit der Variante "4 mal 200mm + 2 mal 50 mm = 900 mm". Der Kunde könnte jetzt sagen "Die zwei 50er Fächer hätte er gerne ganz oben" oder er sagt "Ein 50er ganz oben, und das zweite 50er an der vierten Stelle von oben".. oder oder oder..

Kann man sowas noch rechnen?
Wahrscheinlich artet das dann zu sehr aus, richtig?

26.08.2017, 10:46

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Zitat:

Original von Rivago
Und warum ausgerechnet der Wert vor x^90. Warscheinlich wegen 900 ?

Ja wenn man den Wert von 900 nimmt wird die Rechnung zu groß

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{900+50}-1 }{x^{50} -1} \cdot \frac{x^{900+100}-1 }{x^{100} -1}\cdot \frac{x^{900+150}-1 }{x^{150} -1}\cdot \frac{x^{900+200}-1 }{x^{200} -1} \end{eqnarray*}$

Also kürzt man. Ändert nichts.

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{90+5}-1 }{x^{5} -1} \cdot \frac{x^{90+10}-1 }{x^{10} -1}\cdot \frac{x^{90+15}-1 }{x^{15} -1}\cdot \frac{x^{90+20}-1 }{x^{20} -1} \end{eqnarray*}$

Das könnte man nochmal mit 5 kürzen

Zitat:

Original von Rivago
Was ist, wenn der Kunde auch noch auswählen kann, wo genau er welche Fächer haben möchte?

Das kostet aber extra

26.08.2017, 11:24

Huggy

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Zitat:

Original von xb

Zitat:

Original von Dopap.
Kann das "Zahlenmonster" das Prinzip etwas erläutern ?

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to n} Ahxung=0 \end{eqnarray*}$

Das finde ich etwas merkwürdig, da die Formel auf dem richtigen Prinzip basiert. Allerdings enthält sie einen kleinen Fehler. Dass sie trotz des Fehlers das richtige Ergebnis liefert, ist wohl eher Zufall. Korrekt wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{95}-1 }{x^{5} -1} \cdot \frac{x^{100}-1 }{x^{10} -1}\cdot \frac{x^{105}-1 }{x^{15} -1}\cdot \frac{x^{100}-1 }{x^{20} -1} \end{eqnarray*}$

Wenn man die Exponenten noch durch den Faktor 5 teilt, kann man das schreiben als

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{18+1}-1 }{x -1} \cdot \frac{(x^2)^{9+1}-1 }{x^2 -1}\cdot \frac{(x^3)^{6+1}-1 }{x^3 -1}\cdot \frac{(x^4)^{4+1}-1 }{x^4 -1} \end{eqnarray*}$

Jetzt sollte das Prinzip klar werden. Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \frac {x^{n+1}-1}{x-1}=\sum_{i=0}^n x^i \end{eqnarray*}$

Wenn man auf diese Art alle Brüche in Summen umschreibt, dann ausmultpliziert und Terme mit gleichem Exponenten zusammenfasst, dann gibt dessen Koeffizient offensichtlich an, auf wieviele Weisen sich dieser Exponent durch Multiplikation der Summanden in den Klammern erreichen lässt.

Der fehlerhafte Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{110}-1 }{x^{20} -1} \end{eqnarray*}$

der Originalformel lässt sich nicht in eine reine Summe nach obigem Vorbild entwickeln. Es bleiben Brüche übrig. Nach Multiplikation mit den übrigen Brüchen bleibt aber eher zufällig eine reine Summe übrig, die auch noch den richtigen Koeffizienten liefert.

26.08.2017, 11:52

Rivago

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Zitat:

Original von xb

Zitat:

Original von Rivago
Und warum ausgerechnet der Wert vor x^90. Warscheinlich wegen 900 ?

Zitat:

Original von Rivago
Was ist, wenn der Kunde auch noch auswählen kann, wo genau er welche Fächer haben möchte?

Das kostet aber extra

Was hast du für Preise? Big Laugh

26.08.2017, 13:14

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Zitat:

Original von Huggy

Das finde ich etwas merkwürdig, da die Formel auf dem richtigen Prinzip basiert. Allerdings enthält sie einen kleinen Fehler. Dass sie trotz des Fehlers das richtige Ergebnis liefert, ist wohl eher Zufall. Korrekt wäre

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{95}-1 }{x^{5} -1} \cdot \frac{x^{100}-1 }{x^{10} -1}\cdot \frac{x^{105}-1 }{x^{15} -1}\cdot \frac{x^{100}-1 }{x^{20} -1} \end{eqnarray*}$

An einen Zufall ist bei den Zahlen schwer zu glauben
Vielleicht ist ja mein Rechenweg "zufällig" immer richtig

Hast du mal ein Beispiel,wo der Unterschied erkennbar ist?

26.08.2017, 14:03

Huggy

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Zitat:

Original von xb
An einen Zufall ist bei den Zahlen schwer zu glauben

Da stimme ich dir zu, nachdem ich noch ein paar Beispiele betrachtet habe.

Zitat:

Vielleicht ist ja mein Rechenweg "zufällig" immer richtig

An Zufälle glaube ich nicht, wenn sie gehäuft auftreten. Jedenfalls ist dein Rechenweg ziemlich oft richtig. Dafür gibt es sicher eine Begründung, die mir aber bisher nicht klar ist. Die von mir korrigierte Formel scheint mir jedenfalls ohne wenn und aber immer richtig.

Zitat:

Hast du mal ein Beispiel,wo der Unterschied erkennbar ist?

Z. B. wenn es nur Fächer der Höhe 200 mm gibt. Dann gibt es keine Lösung, aber deine Formel ergibt 1.

26.08.2017, 17:22

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Zitat:

Original von Huggy
Z. B. wenn es nur Fächer der Höhe 200 mm gibt. Dann gibt es keine Lösung, aber deine Formel ergibt 1.

Ja das hatte ich auch nachgedacht und in meinem ersten Kommentar erwähnt

Zitat:

Original von xb
Könnten 84 sein
Bin aber nicht ganz sicher,weil die 200 nicht genau in die 900 hineinpassen

Bei dem folgenden Beispiel der "Länge" 7 mit 2,3,4,5 gibt es für keinen einzelnen Wert eine Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{9}-1 }{x^{2} -1} \cdot \frac{x^{10}-1 }{x^{3} -1}\cdot \frac{x^{11}-1 }{x^{4} -1}\cdot \frac{x^{12}-1 }{x^{5} -1} \end{eqnarray*}$

Trotzdem kommt der richtige Wert 3 raus

2+2+3 und 3+4 und 2+5

26.08.2017, 20:09

Huggy

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Fügt man deinem Beispiel noch 6 als zulässigen Summanden hinzu, ergibt deine Formel 7, obwohl es nach wie vor nur 3 Möglichkeiten gibt.

Ich überlasse es mal dir, näher zu bestimmen, unter welchen Bedingungen deine Formel ein korrektes Ergebnis liefert.

26.08.2017, 20:52

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Zitat:

Original von Huggy
Ich überlasse es mal dir, näher zu bestimmen, unter welchen Bedingungen deine Formel ein korrektes Ergebnis liefert.

26.08.2017, 21:33

Rivago

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Nun denn, habt ihr das also geklärt Big Laugh

Wie schaut es mit der Anzahl an Kombinationen aus, wenn der Kunde die Position des Faches bestimmen kann?
Kann man das berechnen?

26.08.2017, 22:07

Dopap

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mein TR liefert $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{18}x^k=\frac {e^{19\ln(x)}-1}{x-1} \end{eqnarray*}$ aber mit 'SIMPLIFY' bringt man ihn wieder in Spur. Augenzwinkern

und $\begin{eqnarray*} ...+ 84x^{18}+... \end{eqnarray*}$ ist enthalten!

@Rivago: stör' doch mit deinen profanen Fragen nicht den Thread Big Laugh

26.08.2017, 22:30

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Zitat:

Original von Rivago
Wie schaut es mit der Anzahl an Kombinationen aus, wenn der Kunde die Position des Faches bestimmen kann?
Kann man das berechnen?

Eine Möglichkeit wäre sicher indem man alle 84 Möglichkeiten betrachtet und dann die Kombintionen
ausrechnet

zB

1+1+1+1+1+3+3+3+4=18

$\begin{eqnarray*} \frac{9!}{5!\cdot 3!\cdot 1!} =504 \end{eqnarray*}$

27.08.2017, 08:47

Huggy

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Zitat:

Original von Rivago
Nun denn, habt ihr das also geklärt Big Laugh

Warst du es nicht, der wissen wollte, weshalb die Formel zum richtigen Ergebnis kommt?

Zitat:

Original von Rivago
Wie schaut es mit der Anzahl an Kombinationen aus, wenn der Kunde die Position des Faches bestimmen kann?
Kann man das berechnen?

Natürlich kann man es berechnen, siehe

Zitat:

Original von xb
Eine Möglichkeit wäre sicher indem man alle 84 Möglichkeiten betrachtet und dann die Kombintionen ausrechnet

Aber die Aussichten, für die Gesamtsumme eine Formel zu finden, schätze ich gering ein.

@xb
Mir ist nicht klar, was du mit der Polynomdivision von $\begin{eqnarray*} (x^9-1)/(x^2-1) \end{eqnarray*}$ sagen wolltest. Ich hatte ja schon darauf hingewiesen, dass bei deinem Ansatz die Polynomdivision manchmal nicht aufgeht.

Zitat:

Original von Huggy
Der fehlerhafte Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{110}-1 }{x^{20} -1} \end{eqnarray*}$

der Originalformel lässt sich nicht in eine reine Summe nach obigem Vorbild entwickeln. Es bleiben Brüche übrig.

27.08.2017, 10:02

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Zitat:

Original von Huggy
@xb
Mir ist nicht klar, was du mit der Polynomdivision von $\begin{eqnarray*} (x^9-1)/(x^2-1) \end{eqnarray*}$ sagen wolltest

Ich wollte zeigen dass dieses Beispiel NICHT AUFGEHT
und dass es deshalb falsch ist das hattest du doch gemeint

Da es aber auch beim falschen Ansatz manchmal aufgeht
ist der falsche Ansatz auch irgendwie wieder richtig

Jetzt muss nur noch geklärt werden mit welcher Wahrscheinlichkeit
der falsche Ansatz ein richtiges Ergebnis liefert

27.08.2017, 11:18

Rivago

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Zitat:

Original von xb

Zitat:

Original von Rivago
Wie schaut es mit der Anzahl an Kombinationen aus, wenn der Kunde die Position des Faches bestimmen kann?
Kann man das berechnen?

Wie kommst du auf die 18? Ist das von der Variante "18 mal 50 mm = 900 mm"?
Ist das somit die Höchstzahl und alle weiteren Kombinationen müssen die erreichen?

Ein Beispiel mit folgender Variante:
7 mal 50 mm
+
4 mal 100 mm
+
1 mal 150 mm

Jetzt sagt man dann:

1 = 50 mm
2 = 100 mm
3 = 150 mm
4 = 200 mm

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 = 18

Somit $\begin{eqnarray*} \frac{9!}{7! \cdot 4! \cdot 1!} = 3 \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Kann ich mir nicht vorstellen, dass man diese Variante nur in 3 verschiedenen Kombinationen machen kann. verwirrt

27.08.2017, 11:38

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Zitat:

Original von Rivago

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 = 18

Somit $\begin{eqnarray*} \frac{9!}{7! \cdot 4! \cdot 1!} = 3 \end{eqnarray*}$

Im Zähler steht die Anzahl der Zahlen

$\begin{eqnarray*} \frac{12!}{7! \cdot 4! \cdot 1!} \end{eqnarray*}$

Ja habe es vereinfacht 900/50=18
Weil man die anderen Werte 50,100,150,200 auch durch 50 teilen kann

27.08.2017, 13:17

Rivago

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Danke

Ich werde es mal in Excel implementieren, sobald ich mit meiner Bachelorarbeit durch bin Wink

27.08.2017, 17:37

Huggy

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Mein Rechner hat für die 84 zulässigen Kombinationen insgesamt 76424 Anordnungsmöglichkeiten gezählt.

27.08.2017, 18:55

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Zitat: