Besitzt die Kurve einen Scheitel?

25.08.2017, 18:11

Maha

Besitzt die Kurve einen Scheitel?

Meine Frage:
Hallo, Folgende Aufgabe :

Besitzt die Kurve einen scheitel ?

$\begin{eqnarray*} x(t)=cos(t)+tsin(t) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y(t)=sin(t)-tcos(t) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Mein Lösungsweg:

k(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{x'y''-x''y'}{((x')^2+(y')^2)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

x'= $\begin{eqnarray*} t*cos(t) \end{eqnarray*}$
y'= $\begin{eqnarray*} sin(t)*t \end{eqnarray*}$

x''= $\begin{eqnarray*} cos(t)-sin(t)*t \end{eqnarray*}$
y''= $\begin{eqnarray*} sin(t)+t*cos(t) \end{eqnarray*}$

also folgt :

k(t)= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

k'(t)= -1/t^2 hat keine extremstellen also auch keinen scheitel.

stimmt das ?

25.08.2017, 21:19

Maha

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RE: Besitzt die Kurve einen Scheitel?
Kann mir jemand helfen verwirrt

26.08.2017, 01:30

Dopap

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und was verstehst du unter "Scheitel" ?

für den Parameter ist keine Definitionsmenge vorgegeben !

26.08.2017, 03:11

Maha

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Scheitel wird bei uns Definiert als :

Ein Punkt extremaler Krümmung, in dem die Krümmung ein Lokales Maximum oder Minimum annimmt heißt scheitel.

Stimmen den meine berechnungen nicht ?

Ich habe die Orginal Aufgabe reingeschrieben

26.08.2017, 05:10

Dopap

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wenn $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ so festgelegt ist und die Definition gilt, dann ist das in Ordnung Freude

verwende LATEX durchgehend
die Definitionsmenge fehlt
die Kurve $\begin{eqnarray*} (x(t),y(t)) \end{eqnarray*}$ hat keinen Scheitel nicht $\begin{eqnarray*} k(t)=\frac {1}{|t|} \end{eqnarray*}$

26.08.2017, 11:35

Maha

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Ok ich werde darauf achten LATEX immer zu benutzen.
Wegen der Definitionsmenge : Der Prof. Hat keine dazu geschrieben.
Warum setzt du $\begin{eqnarray*} k(t)= \frac{1}{|t|} \end{eqnarray*}$ in Betrag?
Stimmt es jetzt das die Kurve keinen Scheitel hat?

26.08.2017, 13:27

Dopap

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Zitat:

Original von Maha
[...]
Warum setzt du $\begin{eqnarray*} k(t)= \frac{1}{|t|} \end{eqnarray*}$ in Betrag?
Stimmt es jetzt dass die Kurve keinen Scheitel hat?

1.) reine Vorsicht. Bei $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ könnten negative Krümmungen entstehen.
2.) Keine Scheitel = true

26.08.2017, 13:59

Leopold

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Zitat:

Original von Dopap
1.) reine Vorsicht. Bei $\begin{eqnarray*} t<0 \end{eqnarray*}$ könnten negative Krümmungen entstehen.

Wieso Vorsicht? Ich würde sagen: weil es so herauskommt. Man erhält

$\begin{align*} \kappa(t) = \frac{t^2}{\left( t^2 \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\left( t^2 \right)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{|t|} \end{align*}$

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