Reihen

26.08.2017, 00:32

tt3344

Reihen

Meine Frage:
Könnte mal einer bitte mein Lösungsweg kontrollieren. In der Lösung fehlt ein Teil am Ende.
$\begin{eqnarray*} Aufgabe: \sum\limits_{n=0}^{\infty } \begin{pmatrix} 2n+1 \\ n \ \end{pmatrix} \frac{5}{6^n} \end{eqnarray*}$

Lösung:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{(2n+3)(2n+2)* 2n+3 }{(n+2)(n+1)6 * 3n+6} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Lösungsweg:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{((2n+1)!5)}{(n!(n+1)!6^n)} \Rightarrow \frac{a_{n+1} }{a_{n} } = \frac{(2(n+1)+1)!* n! *(n+1)! 5* 6^n}{(n+1)!*(n+2)!* (2n+1)!* 6^{n+1} *5 } = \frac{(2n+3)!}{(n+2)(n+1)(2n+1)!* 6} = \frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+2)(n+1)6} \end{eqnarray*}$

DANKE FÜR DIE HILFE!

26.08.2017, 08:26

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihen

Zitat:

Original von tt3344

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{a_{n+1} }{a_{n} } = \frac{(2(n+1)+1)!* n! *(n+1)! 5* 6^n}{(n+1)!*(n+2)!* (2n+1)!* 6^{n+1} *5 } = \frac{(2n+3)!}{(n+2)(n+1)(2n+1)!* 6} = \frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+2)(n+1)6} \end{eqnarray*}$

Aus meiner Sicht stimmt das

wobei man mit solchen Pfeilen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ immer vorsichtig sein muss

Man könnte auch a(n+1) erstmal hinschreiben und dann erst weitermachen

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}= \begin{pmatrix} 2(n+1)+1 \\ n+1 \ \end{pmatrix} \frac{5}{6^{n+1} } = \begin{pmatrix} 2n+3 \\ n+1 \ \end{pmatrix} \frac{5}{6^{n+1} } \end{eqnarray*}$

26.08.2017, 09:05

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann hier sogar konkret den Reihenwert berechnen: Aus der Binomialreihe $\begin{align*} (1-4x)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{-\frac{1}{2}}{n} (-4)^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} x^n \end{align*}$ folgt

$\begin{align*} \frac{1}{x}\left( \frac{1}{\sqrt{1-4x}}-1\right) = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n+2}{n+1} x^n = 2\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n+1}{n} x^n \end{align*}$ .

Mit $\begin{align*} x=\frac{1}{6} \end{align*}$ bekommt man damit $\begin{align*} \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n+1}{n} \frac{5}{6^n} = \frac{5}{2\cdot \frac{1}{6}}\left( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{4}{6}}}-1\right) = 15\left(\sqrt{3}-1\right) \end{align*}$ .

26.08.2017, 13:46

tt3344

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihen
OK, Warum fehlt mir dieser Teil? verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n+6} \end{eqnarray*}$

26.08.2017, 13:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihen
Da wird lediglich noch dein Term etwas vereinfacht:

$\begin{align*} \frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+2)(n+1)6} = \frac{(2n+3)2(n+1)}{(n+2)(n+1)6} = \frac{2n+3}{(n+2)3} = \frac{2n+3}{3n+6} \end{align*}$ ,

im vorletzten Schritt wurde $\begin{align*} 2(n+1) \end{align*}$ gekürzt.

Jetzt ist auch klar, dass du mit diesem ominösen

Zitat:

Original von tt3344
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{(2n+3)(2n+2)* 2n+3 }{(n+2)(n+1)6 * 3n+6} \end{eqnarray*}$

eigentlich die Frage

Zitat:

Warum ist $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+2)(n+1)6}= \frac{2n+3}{3n+6} \end{eqnarray*}$ ?

gemeint hattest - darauf muss man erstmal kommen bei dieser Symbolik! Finger1

26.08.2017, 14:24

tt3344

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Reihen
Achso , naja mich hat das in der Lösung auch verwirt weil da kein = stand.
[attach]45146[/attach]

26.08.2017, 14:30

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann ist dieses Missverständnis eines vergessenen Gleichheitszeichens ja jetzt geklärt. Wink

26.08.2017, 14:32

tt3344

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Dir!

26.08.2017, 14:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Anmerkung zu meinem Lieblingsthema "vergessene Klammern" muss ich mal noch loswerden. Selbst wenn es um diesen Term $\begin{eqnarray*} \frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+2)(n+1)6} \frac{2n+3}{3n+6} \end{eqnarray*}$ dort im PDF-File gegangen wäre:

Es sind da zwei getrennte Bruchstriche zu erkennen. Das Verbinden der beiden zu einem gemeinsamen Bruch macht es unbedingt erforderlich, dass die Zähler- und Nennerterme des zweiten Bruches in Klammern geschrieben werden, d.h.

$\begin{align*} \frac{(2n+3)(2n+2)}{(n+2)(n+1)6} \frac{2n+3}{3n+6} = \frac{(2n+3)(2n+2)\cdot {\color{red}(}2n+3{\color{red})}}{(n+2)(n+1)6\cdot {\color{red}(}3n+6{\color{red})}} \end{align*}$ ,

sonst wird es falsch (wie bei dir oben).

Neue Frage »

Antworten »

Reihen

Verwandte Themen