Selbstadjungierte

26.08.2017, 10:44

Sito

Selbstadjungierte

Tag zusammen.

Folgende Aufgabe beschäftigt mich etwas:
Sei $\begin{align*} (V,\langle\cdot , \cdot\rangle ) \end{align*}$ ein endl.dim unitärer VR. Es soll weiter gelten, dass die Aufteilung von $\begin{align*} V=W\oplus W^{\perp} \end{align*}$ existiert. Definiere nun $\begin{align*} U:V\to V \end{align*}$ mit $\begin{align*} U(v_1+v_2)=v_1-v_2 \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} v_1\in W,v_2\in W^{\perp} \end{align*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{align*} U \end{align*}$ ein selbstadjungierter unitärer Operator ist.

Um ehrlich zu sein habe ich bei diesen Aufgaben (also wenn es darum geht zu zeigen, dass ein Operator selbstadjungiert ist) immer das Problem, dass ich nicht so recht weiss wie beginnen. Die einzige Eigenschaft die ich wirklich kenne ist für $\begin{align*} v,w \in V : \langle Tv,w\rangle = \langle v,T^*w\rangle \end{align*}$ . Gibt es hier allgemeine Ideen mit denen man bei diesem Aufgabentyp ansetzten sollte? Und kann mir jemand vlt. einen etwas konkreteren Tipp für die oben genannte Aufgabe nennen?

Gruss Sito

26.08.2017, 17:57

Elvis

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Was willst du zeigen ? $\begin{eqnarray*} U^*=U \end{eqnarray*}$ selbstadjungiert ? oder $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unitär $\begin{eqnarray*} U^*=U^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Das erste sehe ich nicht, denn
$\begin{eqnarray*} <U(x+x^{\perp}),y+y^{\perp}>=<x-x^{\perp},y+y^{\perp}>=... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <x+x^{\perp},U(y+y^{\perp})>=<x+x^{\perp},y-y^{\perp}>=... \end{eqnarray*}$
wieso sollte das gleich sein ?

26.08.2017, 18:04

PWM

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Hallo,

"wieso sollte das gleich sein ? "

Weil die "gemischten Terme" 0 werden?

Gruß pwm

26.08.2017, 18:29

Elvis

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Das ist mal ein richtig guter Grund. Freude

Womit bewiesen wäre, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ selbstadjungiert ist.
Für den Nachweis, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unitär ist, muss man nur noch $\begin{eqnarray*} U^2=\iota \end{eqnarray*}$ zeigen. (Sieht geometrisch so aus wie die komplexe Konjugation ...)

26.08.2017, 19:24

Sito

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Zitat:

Womit bewiesen wäre, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ selbstadjungiert ist.

Ehm, nur um nochmal sicher zu gehen, dass ich auch wirklich verstanden habe wieso...

Zur Vereinfachung der Notation: $\begin{align*} v_i\in V \end{align*}$ mit $\begin{align*} v_i=w_i+w_i', w_i \in W, w_i'\in W^{\perp} \end{align*}$ . Es folgt:
$\begin{align*} \langle U(v_1),v_2\rangle = \langle w_1-w_1',w_2+w_2'\rangle =\langle w_1,w_2\rangle +\underbrace{\langle w_1,w_2'\rangle}_{=0} -\underbrace{\langle w_1',w_2\rangle}_{=0} -\langle w_1',w_2'\rangle = \langle w_1,w_2\rangle -\langle w_1',w_2'\rangle \end{align*}$
$\begin{align*} \langle v_1,U(v_2)\rangle = \langle w_1+w_1',w_2-w_2'\rangle =\langle w_1,w_2\rangle -\underbrace{\langle w_1,w_2'\rangle}_{=0} +\underbrace{\langle w_1',w_2\rangle}_{=0} -\langle w_1',w_2'\rangle = \langle w_1,w_2\rangle -\langle w_1',w_2'\rangle \end{align*}$
und daraus folgt, dass $\begin{align*} U \end{align*}$ selbstadjungiert ist.

Tut mir Leid Elvis, aber die Notation hier: $\begin{eqnarray*} U^2=\iota \end{eqnarray*}$ ist mir leider unbekannt.. Ist damit die Identitätsabbildung gemeint? Falls ja, könnte man das Ganze dann so lösen?
Sei $\begin{align*} v \in V: U^2(v)=U(U(v))= U(w-w') \end{align*}$ . Definiere nun $\begin{align*} \hat{v}=w-w' \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} w\in W, (-w')\in W^{\perp} \end{align*}$ . $\begin{align*} \Rightarrow U^2(v)=U(\hat{v})=w-(-w')=w+w'=I(v) \Rightarrow U^2 = I \end{align*}$

26.08.2017, 19:32

Elvis

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Genau so ist es, das kann man bis dahin nicht mehr besser machen. Am Ende würde ich noch hinzufügen

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U^*U=I\Rightarrow U^*=U^{-1} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ unitär.

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