Krümmungsmittelpunkt

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26.08.2017, 13:02	Maha	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmungsmittelpunkt Meine Frage: Hallo ich habe folgende Aufgabe. (siehe Bild) Meine Ideen: Muss ich erstmal die Scheitelpunkte berechnen ? [attach]45145[/attach]
26.08.2017, 13:27	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich. Die Scheitelpunkte zu bestimmen, ist sicherlich nicht schwer, oder? Dann: Wieder die Krümmung allgemein bestimmen und die Koordinate des Punktes einsetzen. --------- Zur Geometrie: Der Hinweis sagt bereits alles .. (kann man dann auch beweisen) Nicht vergessen: Der Krümmungsradius ist der Kehrwert der Krümmung: $\begin{eqnarray} r = \frac 1 {\kappa} \end{eqnarray}$ mY+
26.08.2017, 14:05	Maha	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Scheitel zu berechnen muss ich doch von y die Krümmung berechnen und danach schauen ob die Krümmung einen Lokalen Extremum hat. Also habe ich erstmal die Gleichung nach y umgeformt und habe : $\begin{eqnarray} y=\frac{b\sqrt{(x^2-a^2)} }{a^2} \end{eqnarray}$ rausbekommen. Nun die KrümmungsFormel ist : $\begin{eqnarray} k=\frac{y'' }{[1+(y')^2]^(3/2)} \end{eqnarray}$ Also muss ich die 1 und 2 Ableitung berechnen von k. Diese sind y'= $\begin{eqnarray} y'=\frac{bx}{a^2\sqrt{(x^2-a^2)} } \end{eqnarray}$ und y''= $\begin{eqnarray} y''=-\frac{b}{(x^2-a^2)^{3/2} } \end{eqnarray}$ Nun wollte ich die Krümmungsfunktion berechnen und danach die 1 Ableitung davon berechnen und schauen ob diese Lokale Extremum annimmt. ist das so richtig was ich mache ? gibt es keine leichteren weg die scheitel zu berechnen?
26.08.2017, 14:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
zur deutschen Sprache Es heißt "das" Extremum (Mehrzahl: "die" Extrema).
26.08.2017, 14:13	Maha	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok Danke. und zur Aufgabe ?
26.08.2017, 15:42	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst doch den Scheitelpunkt direkt bestimmen* (wie lautet dieser denn?) und - wie schon gesagt - dann dessen Koordinate in den Krümmungsterm einsetzen! Deshalb brauchst du keine Extremwertberechnung. (*) Hyperbel in Mittelpunktslage, Scheitel links und rechts auf der x-Achse Übrigens stimmt deine Umformung nach y nicht ganz, überprüfe dies nochmals! mY+
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26.08.2017, 16:22	Maha	Auf diesen Beitrag antworten »
huch y= $\begin{eqnarray} y= \frac{\|b\|\sqrt{(x^2-a^2)} }{\|a\|} = \end{eqnarray}$ und die Scheitel sind : (a,0) und (-a,0) (habe ich im Internet gefunden aber warum weiß ich nicht) und den Punkt a und -a jeweils in k(x) eingesetzt kommt : $\begin{eqnarray} k(x)=\frac{-\frac{b}{(x^2-a^2)^{3/2}} }{(1+(\frac{bx}{a^2\sqrt{(x^2-a^2)} })^{2} )^{3/2}} = \end{eqnarray}$ also einmal a eingesetzt kommt : $\begin{eqnarray} k(a)=\frac{-\frac{b}{(a^2-a^2)^{3/2}} }{(1+(\frac{bx}{a^2\sqrt{(a^2-a^2)} })^{2} )^{3/2}} = \end{eqnarray}$ der nenner wird 0 also nicht Definiert
26.08.2017, 18:10	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Scheitel und den Asymptoten: Die Gleichung des Graphen mit der x-Achse schneiden, ergibt $\begin{eqnarray} b^2x^2 - a^2y^2 = a^2b^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^2 = a^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x = a \end{eqnarray}$ (rechter Scheitel), oder $\begin{eqnarray} x = -a \end{eqnarray}$ (linker Scheitel) ------------------- Zur Geometrie: Gleichungen der Asymptoten: $\begin{eqnarray} y = \pm \frac b a x \end{eqnarray}$ Der Punkt im 1. Quadranten auf der Asymptote mit $\begin{eqnarray} x = a \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (a; b) \end{eqnarray}$ Dort die Senkrechte auf die Asymptote [ $\begin{eqnarray} y = -\frac a b x \end{eqnarray}$ ] mit der x-Achse schneiden --> Mittelpunkt des Krümmungskreises $\begin{eqnarray} M(\frac{a^2+b^2} a; 0) \end{eqnarray}$ ------------------ Zur Rechnung: Durch den Nenner, welcher zu Null wird, musst du vorher kürzen (!) Dies gelingt nach entsprechender Umformung im oberen und unteren Teilbruch, danach steht in beiden Nennern der Faktor $\begin{eqnarray} (\sqrt{x^2-a^2})^3 \end{eqnarray}$ , diesen nun kürzen! Wenn alles ansonsten passt (richtig gerechnet ist), kommt $\begin{eqnarray} \kappa = \frac{a^4b \sqrt{x^2(a^2+b^2)}-a^4}{(x^2(a^2+b^2)-a^4)^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \kappa(a) = \ldots \end{eqnarray}$ ------------------- Anmerkung: Das Auffinden des Extremums der Krümmungsfunktion gelingt hier nicht mittels Nullsetzen der 1. Ableitung, weil diese Funktion keine relativen Extremwerte besitzt (x = 0 ist eine komplexe Lösung). Deren Betrag hat jedoch ein absolutes Maximum bei x = a (x = 3 im u. s. Beispiel) [attach]45150[/attach] mY+
26.08.2017, 23:34	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So sieht es aus! Zur besseren Übersicht der Verhältnisse noch eine Grafik: [attach]45151[/attach] mY+

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