Lineare DGL lösen

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HarryBerry Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare DGL lösen
Aufgabe:

Lösen Sie folgende DGL



Das ganze können wir schreiben als

Homogene Lösung:

Trennung der Variablen liefert

.

Nun brauche ich noch die Partikuläre Lösung. Mit Variation der Konstanten bekomme ich diese auch heraus aber es müsste doch auch mit Ansatz gehen.

Partikuläre Lösung:

Die inhomogenität ist Konstant. Normalerweise setzten wir dann auch den Ansatz Konstant:

.

Damit würde ich aber erhalten



Was sich ja nicht lösen lässt da konstant sein sollte.
Polynome haben mich auch nicht weiter gebracht ich habe also mal

Ansatz: probiert.

Bekomme damit theor. auch ne Lösung:




Würde funktionieren wenn und .

Das unterscheidet sich dann aber von meiner Lösung mit Variation der Konstanten wo ich

heraus habe.

Die Lösung war bei der Korrektur auch korrekt ich frage mich nur wieso es mit Ansatz nicht funktioniert. Das sollte es ja. Was mache ich falsch?

LG HarryBerry
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HarryBerry
meiner Lösung mit Variation der Konstanten wo ich

heraus habe.

Gleich zwei Freiheitsgrade (d.h. wählbare Parameter) in der allgemeinen Lösung einer DGL erster Ordnung? verwirrt

Höchst verdächtig - und auch falsch: Für ist das keine Lösung der DGL, tatsächlich lautet die allgemeine Lösung also nur . Das bekommt man auch auf dem normalen Weg über Variation der Konstanten so heraus, ich weiß jetzt nicht, wie sich da dieses zweite in deine Lösung hineingemogelt hat. unglücklich

Eine andere kurze Lösung: Es ist ja nach Produktregel , daher kann man das entstehende sofort integrieren und erhält . Umparametrisierung liefert unmittelbar die obige Lösung .

Zitat:
Original von HarryBerry
Normalerweise setzten wir dann auch den Ansatz Konstant:

.

[...]

ich frage mich nur wieso es mit Ansatz nicht funktioniert. Das sollte es ja.

Kann ich bei beidem nur den Kopf schütteln: Es gibt keinen rationalen Grund, warum das bei dieser DGL mit diesem Ansatz funktionieren sollte, da hast du irgendwie was gedanklich falsch zugeordnet. unglücklich


P.S.: Ich halte deine Verwendung der Symbolik hier für gefährlich: Sehr viele Leute verstehen darunter die Arkuskosinus-Funktion, was hier aber nicht gemeint ist. Solchen potentiellen Fehlinterpretationen geht man nach Möglichkeit aus dem Weg.
HarryBerry Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank erstmal für deine Hilfe Hal.
Okay offensichtlich habe ich das Verfahren noch nicht ganz verstanden.

Ich schreibe mal meinen Lösungsweg hin:



Bestimmung der Homogenen Lösung:



Soweit war ja alles gut.

Partikuläre Lösung durch Variation der Konstanten:

Ansatz:

Einsetzten in die DGL liefert:










Nun muss ich die Konstante Integrieren: Laut skript kann man c- wählen als z.B.



(Wir haben die Integrationskonstante weggelassen.

Also hätte ich als partikuläre Lösung:

.

Da dies nur eine spezielle Lösung ist wäre



Was ich aber nicht verstehe ist, dass ich dann:



erhalte


Zu dem Teil mit dem Ansatz:
Ja das ein Konstanter Ansatz hier keinen Sinn macht ist durchaus logisch, ich dachte nur bislang das eine DGL immer auch per Ansatz lösbar ist und ich habe mich gefragt, ob man das dann hier nicht auch anstelle von Variation der konstanten nutzen könnte.

Mfg. HarryBerry
HarryBerry Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ich muss das ganze ja noch an das AWP anpassen Hammer

Dann erhalte ich für



Insgesamt also:




Das müsste so stimmen oder?

Nur meine Frage bleibt. Geht es auch mit einem Ansatz, so wie man z.B. bei



einen konstanten Ansatz für die Partikuläre Lösung verwenden könnte?

LG
HarryBerry
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt stimmt es soweit. Das Problem war ja auch, dass du oben nicht



geschrieben hattest, sondern . unglücklich

Die beiden Konstanten in (*) sind aber nicht wirklich unabhängig voneinander, man kann das eben auch per

mit

mit nur einer Konstanten darstellen.


Zitat:
Original von HarryBerry
Geht es auch mit einem Ansatz, so wie man z.B. bei



einen konstanten Ansatz für die Partikuläre Lösung verwenden könnte?

Das wäre nun tatsächlich so ein Fall, wo der konstante partikuläre Ansatz greift. Jetzt musst du noch die Fälle unterscheiden, wo das Sinn macht, und wo nicht: Diese letztere DGL ist eine mit konstanten Koeffizienten, da gibt es eine ausgefeilte und wohl dokumentierte Strategie zu passenden partikulären Ansätzen. Augenzwinkern
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