Winkel von Tangentenvektor

27.08.2017, 12:34

Mesut95

Winkel von Tangentenvektor

Meine Frage:
Moin 128587127995???

Ich habe etwas Schwierigkeiten mit einer Aufgabe was ich als Bild geteilt habe.

Meine Ideen:
Genauer gesagt habe ich Schwierigkeiten mit der b)

In der Lösung steht der Winkel ergibt sich aus :

$\begin{eqnarray*} Cos(\alpha)= \frac{<v1,v2>}{||v1|| ||v2||} \end{eqnarray*}$

Ausrechnen ist ja kein Problem. Das Problem ist warum ist das der Winkel ? Wieso ergibt sich das so?
Den Nenner kann ich ja als das Produkt der Längen interpretieren aber der Zähler ?

Und genau das selbe Problem bei der c) warum wird das von uns verlangt ? Kein Problem beim ausrechnen kommt Pi raus aber was sagt das mir aus ?
Ich würde über jede Hilfe dankbar sein.

27.08.2017, 17:42

Leopold

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Die Cosinus-Formel ist die vektortechnische Fassung des Cosinus-Satzes der Elementargeometrie.

siehe auch unter Neilsche Parabel und glatter Kurve

27.08.2017, 20:20

mYthos

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So sieht das aus
"Moin 128587127995???"
Was hat das zu bedeuten ???
------------------------------------
So sieht dies aus:

[attach]45161[/attach]

mY+

27.08.2017, 22:18

Mesut95

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RE: So sieht das aus
@Leopold : Leider verstehe ich nicht was du meinst. Warum ist das denn so?
Warum ist cos(alpha)=.......????

@mythos: Diese Zahlen waren eigentlich ein Smiley. Wie kann ich denn diese Zeichnung Interpretieren?
In c) wird gefragt was passiert hier?
Aber ich weiss nicht was die meine verwirrt

27.08.2017, 23:50

Leopold

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In c) sollst du beschreiben, was für $\begin{align*} t \to 0 \end{align*}$ passiert. Im Anhang dazu eine dynamische Zeichnung. Öffne sie mit Euklid. Die Zeichnung zeigt die beiden Tangentialvektoren, angeheftet an den jeweiligen Kurvenpunkt. Der untere Vektor wird zusätzlich am oberen Kurvenpunkt angeheftet (gestrichelt), damit der Winkel zu sehen ist. Ziehe an t. Wie ändern sich die Vektoren, wenn du t nach und nach gegen 0 gehen läßt? Was passiert mit dem Winkel zwischen den Vektoren?
Und was die Cosinus-Formel angeht, habe ich ihre Bedeutung schon in meinem vorigen Beitrag erklärt. Eigentlich macht man das in der Analytischen Geometrie in der Schule. Daher bin ich etwas verwundert, daß du die Formel nicht zu kennen scheinst.

28.08.2017, 11:34

Mesut95

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Wow Danke Leopold !

Wenn ich t gegen 0 laufen lasse wird der Abstand von den Vektoren immer kleiner und kleiner und die Vektoren treffen sich im 0 Punkt und das würde heißen die Vektoren sind die selben an diesem Punkt.
ALso verschwinden diese an diesem Punkt stimmt das ?

28.08.2017, 13:05

Leopold

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Das ist nicht ganz richtig. Beachte, daß ein Vektor parallel verschiebbar ist und keinen festen Angriffspunkt hat. Den Winkel zwischen den Vektoren erkennt man, wenn man Pfeile für die Vektoren am selben Punkt ansetzt. Richtig ist, daß der Betrag (die Länge) der Vektoren gegen 0 geht. Und was ist mit dem Winkel zwischen den Vektoren? Im Anhang eine Ergänzung.

28.08.2017, 13:44

Mesut95

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Also die Länge der Vektoren wird 0 und was mit dem Winkel passiert :

Also man sieht deutlich das die 2 Vektoren wenn diese gegen 0 gehen immer mehr und mehr auseinander gehen damit meine ich das der Winkel zwischen diesen Vektoren 180 grad wird.
Wie man den Winkel zwischen 2 Vektoren misst habe ich nicht so verstanden.
Aber nochmal vielen Dank besser und anschaulicher könnte man das nicht erklären !

29.08.2017, 12:36

mYthos

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Anmerkung zum Verständnis des Winkels zwischen zwei Vektoren:
Man kann die Formel gut mittels der geometrischen Definition des Skalarproduktes erklären:

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot b_a \end{eqnarray*}$

in Worten:
Das Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b \end{eqnarray*}$ zweier Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ ist gleich dem Produkt aus den Längen des ersten Vektors (|a|) und der Länge der Projektion des ersten auf den zweiten Vektor (b_a)
Die Länge der Projektion berechnet man aus dem rechtwinkeligen Dreieck $\begin{eqnarray*} b_a, \ \alpha, \ |\vec b| \end{eqnarray*}$ mittels der Cos-Funktion:

[attach]45178[/attach]

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = \frac{b_a}{|\vec b|} \end{eqnarray*}$

Darauf folgt unmittelbar

$\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot b_a = |\vec a| |\vec b| \cos \alpha \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} \end{eqnarray*}$

---------------------

Editiert von mY+ :

Übrigens bin ich - hinsichtlich der ursprünglichen Aufgabe - der Ansicht, dass der Winkel der beiden Tangentenvektoren gegen Null geht.
Allerdings kann man den Schnittwinkel immer auch dem Supplementärwinkel zuordnen, also ist beides richtig.
Gegebenenfalls versteht man runter dem Schnittwinkel auch den Winkel der nach oben gerichteten Teile der Geraden.

mY+

29.08.2017, 13:09

Leopold

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Zitat:

Original von mYthos
Übrigens bin ich - hinsichtlich der ursprünglichen Aufgabe - der Ansicht, dass der Winkel der beiden Tangentenvektoren gegen Null geht.
Allerdings kann man den Schnittwinkel immer auch dem Supplementärwinkel zuordnen, also ist beides richtig.
Gegebenenfalls versteht man runter dem Schnittwinkel auch den Winkel der nach oben gerichteten Teile der Geraden.

Das stimmt nicht. Sowohl die Rechnung als auch meine dynamische Zeichnung zeigen, daß der Winkel gegen 180° geht. Auch geht es hier nicht um den Schnittwinkel zwischen Geraden, sondern um den Winkel zwischen Vektoren. Das ist nicht dasselbe. Der Winkel zwischen Geraden ist nicht eindeutig bestimmt. Man kann zum Supplementwinkel übergehen. Dagegen ist der Winkel zwischen Vektoren eindeutig bestimmt. Er variiert zwischen 0° und 180°.

29.08.2017, 20:44

mYthos

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Ja, das habe ich zu korrigieren!
Bei der Berechnung der Tangentenvektoren in P und P' war mir ein Fehler unterlaufen (die Komponenten waren vertauscht) und auch meine dynamische Zeichnung in GeoGebra zeigte dies daher falsch.
-------------
Danke.

[attach]45184[/attach]

mY+

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