Mehrdimensionale Integrale / Volumen

27.08.2017, 14:17

Tobi9524

Mehrdimensionale Integrale / Volumen

Meine Frage:
Hallo zusammen ;-)

Es geht um folgendes:

B sei der Körper der entsteht, wenn aus der Kugel mit Radius 3 und Zentrum im Koordinatenursprung den Kegel $\begin{eqnarray*} K = \left\{ (x,y,z) : z \leq -\sqrt{x^{2}+y^{2} } \right\} \end{eqnarray*}$ ausschneidet.

Es soll das Volumen von B berechnet werden.

Meine Ideen:

Die Lösung dazu habe ich, verstehe sie allerdings nicht so richtig.

Bzw. ich tue mich generell bei Aufgaben dieser Art schwer.

Zunächst wurde B wie folgt in Kugelkoordinaten parametrisiert:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \phi \leq 2\pi , 0\leq r \leq , 0\leq \theta \leq \frac{3*pi}{4} \end{eqnarray*}$

Dadurch kamen folgende Integrale zustanden: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2*pi} \int_{0}^{\frac{3pi}{4} }\int_{0}^{3} \! r^2*sin(\theta) \, dr d\theta d\phi \end{eqnarray*}$

Am Ende kommt $\begin{eqnarray*} 9*\pi *(2+\sqrt{2} ) \end{eqnarray*}$ raus.

Meine Fragen dazu:

Wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi }{4} \end{eqnarray*}$ als obere Grenze für Theta?

Warum integriert man über r?

$\begin{eqnarray*} r^{2} * sin(\theta) \end{eqnarray*}$ kommt durch die Jacobi Determinante zustande oder?

Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte :-)

LG

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

27.08.2017, 20:30

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RE: Mehrdimensionale Integrale / Volumen

Zitat:

Original von Tobi9524
Wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi }{4} \end{eqnarray*}$ als obere Grenze für Theta?

Der Kegel hat an der Spitze einen Öffnungswinkel von 90°
(360°-90°)/2=135°
Das dann ins Bogenmaß umrechnen

Zitat:

Original von Tobi9524
Warum integriert man über r?

Weil ein Volumen gesucht ist
Bei konstantem r bekäme man eine Oberfläche

Zitat:

Original von Tobi9524
$\begin{eqnarray*} r^{2} * sin(\theta) \end{eqnarray*}$ kommt durch die Jacobi Determinante zustande oder?

Da gibt es sicher mehrere Möglichkeiten das zu finden

28.08.2017, 16:17

Tobi9524

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RE: Mehrdimensionale Integrale / Volumen

Zitat:

Der Kegel hat an der Spitze einen Öffnungswinkel von 90°

Genau hier liegt mein Problem. Wie kann ich das aus den Informationen rauslesen? :-(

LG

28.08.2017, 18:10

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RE: Mehrdimensionale Integrale / Volumen

Zitat:

Original von Tobi9524

Zitat:

Der Kegel hat an der Spitze einen Öffnungswinkel von 90°

Genau hier liegt mein Problem. Wie kann ich das aus den Informationen rauslesen?

Man kann sich so eine Punktmenge mal von der "Seite" betrachten,indem man
zB y=0 setzt
Das wäre dann ein Blick auf die x-z Ebene

Dann wird aus
$\begin{eqnarray*} z \leq -\sqrt{x^{2}+y^{2} } \end{eqnarray*}$

das
$\begin{eqnarray*} z \leq -\sqrt{x^{2} } \end{eqnarray*}$

bzw das
$\begin{eqnarray*} z \leq -| x | \end{eqnarray*}$

Hier noch ein Beispiel
$\begin{eqnarray*} 5\geq z \geq 2+3\sqrt{x^{2}+y^{2} } \end{eqnarray*}$

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