Ober- Untersumme - Frage zu einer Aufgabe

28.08.2017, 10:35

Felixxxxxx

Ober- Untersumme - Frage zu einer Aufgabe

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe zur Berechnung der Ober- und Unterstumme:

Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} f(x)=exp(x) Z_{n}={0,1/n,...,1} I=[0,1] \end{eqnarray*}$
(a) Berechnen Sie für $\begin{eqnarray*} Z_{n} \end{eqnarray*}$ die Unterstumme $\begin{eqnarray*} s_{f}(Z_{n}) \end{eqnarray*}$ :

Meine Ideen:
Mein Lösungsversuch:
$\begin{eqnarray*} s_{f}(Z_{n} = \sum\limits_{j=1}^{n}f(x_{j-1})(x_{j}-x_{j-1}) = \sum\limits_{j=1}^{n} e^{\frac{j-1}{n}} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Jetzt kommt ein Index-Shift damit ich das j-1 im Exponenten wegbekomme und ich ziehe den nicht von j abhängigen Term vor die Summe. Dann forme ich den Exponenten so um, dass ich die geometrische Summe erkenne:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n-1} e^{\frac{j}{n}} = \frac{1}{n} \sum\limits_{j=0}^{n-1} (e^{\frac{1}{n}})^j \end{eqnarray*}$
Da die geometrische Summe wie folgt aussieht, setze ich für j meinen Exponenten ein:

geom. Reihe: $\begin{eqnarray*} q^n = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ für n->unendlich
Also: $\begin{eqnarray*} (e^{\frac{1}{n}})^j = \frac{1}{1-(e^{\frac{1}{n}})} \end{eqnarray*}$

Laut Musterlösung stimmt das aber nicht. Dort lautet die Lösung so: $\begin{eqnarray*} (e^{\frac{1}{n}})^j = \frac{1-(e^{\frac{1}{n}})^n}{1-e^{\frac{1}{n}}} \end{eqnarray*}$

Ich denke ich habe irgendwie ein FEhler dabei gemacht, die geom. Reihe zu übersetzen, da diese ja von 0->unendlich geht, bei mir geht es aber nur von 0->n-1. Kann das sein, dass dies der Fehler ist?

Wobei $\begin{eqnarray*} (e^{\frac{1}{n}})^n = (e^{\frac{1}{n}*n}) = (e^1) = e \end{eqnarray*}$ sein sollte.

Danke und viele GRüße
Felix

28.08.2017, 10:44

HAL 9000

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Deine Untersumme ist nicht die geometrische Reihe $\begin{align*} \sum_{j=0}^{{\color{red}\infty}} \left( e^{\frac{1}{n}} \right)^j \end{align*}$ (die übrigens divergiert geschockt

), sondern nur davon die Partialsumme $\begin{align*} \sum_{j=0}^{{\color{red}n-1}} \left( e^{\frac{1}{n}} \right)^j \end{align*}$ . Du musst also die Partialsummenformel der geometrischen Reihe anwenden, so wie das auch in der Musterlösung geschieht.

EDIT: Ah Ok, irgendwie bist du dann auch selbst zu der Erkenntnis gekommen.

P.S.: Eigentlich hätte dich auch folgendes stutzig machen können (müssen?):

$\begin{align*} \int\limits_0^1 \exp(x) ~ \dd x \end{align*}$ ist das Integral einer stetigen positiven Funktion über einem endlichen Intervall, der zugehörige Integralwert kann nur eine positive reelle Zahl sein.

$\begin{align*} \frac{1}{n\left(1-e^{\frac{1}{n}}\right)} \end{align*}$ ist für alle $\begin{align*} n>0 \end{align*}$ eine negative reelle Zahl. Allein das reicht, diesen Wert in Frage zu stellen.

28.08.2017, 10:59

Felixxxxxx

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Hi HAL,

vielen Dank für die Antwort. Oben hatte ich mich einmal verschrieben bzgl. "Summe" und Reihe. Ist natürlich die geo. Reihe, die für q < 1 konvergiert, sonst dievergiert. e > 1. Daher konvergiert, genau.

Ich stehe gerade aber auf dem Schlauch, wie ich die Partialsumme dann in dem Bruch für die geo. Reihe unterbringe.

Die Reihe geht nur bis n-1. D.h. ich bringe das jetzt mal in dem Exponenten unter, stehe aber so auf dem Schlauch das ich nicht weiter weiß...

$\begin{eqnarray*} (e^{\frac{1}{n}})^j = \frac{1}{1-e^{\frac{1}{n-1}}} \end{eqnarray*}$ = ...

Viele Grüße und Dane
Felix

28.08.2017, 11:03

HAL 9000

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Die Partialsummenformel der geometrischen Reihe lautet $\begin{align*} \sum_{j=0}^m q^j = \frac{1-q^{m+1}}{1-q} \end{align*}$ . Im Unterschied zur Reihenwertformel, welche nur für $\begin{align*} |q|<1 \end{align*}$ gilt, ist diese Partialsummenformel für alle reellen (und sogar auch komplexen) $\begin{align*} q\neq 1 \end{align*}$ gültig.

Du musst sie nun hier für $\begin{align*} m=n-1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} q=e^{\frac{1}{n}} \end{align*}$ anwenden, mit dem eigentlich ja schon genannten Endergebnis $\begin{align*} \frac{1-\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n}{1-e^{\frac{1}{n}}} = \frac{1-e}{1-e^{\frac{1}{n}}} \end{align*}$ .

28.08.2017, 11:08

Felixxxxxx

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Zitat:

Original von HAL 9000
Die Partialsummenformel der geometrischen Reihe lautet $\begin{align*} \sum_{j=0}^m q^j = \frac{1-q^{m+1}}{1-q} \end{align*}$ . Im Unterschied zur Reihenwertformel, welche nur für $\begin{align*} |q|<1 \end{align*}$ gilt, ist diese Partialsummenformel für alle reellen (und sogar auch komplexen) $\begin{align*} q\neq 1 \end{align*}$ gültig.

Du musst sie nun hier für $\begin{align*} m=n-1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} q=e^{\frac{1}{n}} \end{align*}$ anwenden, mit dem eigentlich ja schon genannten Endergebnis $\begin{align*} \frac{1-\left(e^{\frac{1}{n}}\right)^n}{1-e^{\frac{1}{n}}} = \frac{1-e}{1-e^{\frac{1}{n}}} \end{align*}$ .

Ah, die Partialsummenformel hatte ich bei mir im Script nicht gesehen. Dann ist es einleuchtend!

Vielen herzlichen Dank!

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