sqrt(|xy|) partiell differenzierbar auf R^2?

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Partialius Auf diesen Beitrag antworten »
sqrt(|xy|) partiell differenzierbar auf R^2?
Einen schönen guten Nachmittag wünsche ich,

ich beschäftige mich gerade mit dieser Funktion:
und soll nun herausfinden, ob sie denn auf ganz
partiell differenzierbar ist oder nicht.

Mein Vorgehen ist es zunächst die Funktion partiell nach x bzw y abzuleiten. Zunächst beschränke ich mich nur auf den Fall für die partielle Ableitung nach x. Denn das ganze ist ja symmetrisch.

3-malige Anwendung der Kettenregel liefert:


Man sieht, dass die partielle Ableitung überall definiert und existiert bis auf die Fälle wo entweder x=0 oder y=0 ist. Hier müssen wir also den Differenzenquotienten konsultieren:

Fall 1: x=0, y beliebig



Dieser Grenzwert existiert zunächst nicht. Denn mit dem Folgenkriterium und der Folge ergibt sich für den Grenzwert

Nun muss man aber noch berücksichtigen, dass sich die Sache natürlich ändert, wenn ebenfalls y=0 ist.

Fall 2: x=0,y=0



Hier ist das ganze also tatsächlich differenzierbar. Analog geht es für den Fall y=0, x beliebig.
Das heißt die partielle Ableitung nach x ist zusätzlich noch auf (0,0) existent, aber eben nicht überall auf
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: sqrt(|xy|) partiell differenzierbar auf R^2?
Zitat:
Original von Partialius
Fall 1: x=0, y beliebig

Um nicht in Konflikt mit dem Fall 2 zu geraten, solltest du hier besser "x=0, y ungleich 0" schreiben.

Ansonsten fehlt mir noch der 3. Fall: x ungleich Null, y=0
Oder du faßt den mit dem 2. Fall zusammen: x beliebig, y=0 smile
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