Stetigkeiten |
| 29.08.2017, 09:14 | Mini89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Stetigkeiten Hallo, ich beiße mir gerade die Zähne aus an dieser Aufgabe und hab keine Idee wie ich diese lösen kann. Meine Ideen: 
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| 29.08.2017, 09:48 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Stetigkeiten Überlege dir als erstes, wo die Funktion stetig sein könnte. Vielleicht kannst du versuchsweise eine Skizze machen. |
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| 29.08.2017, 12:37 | Mini89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Woran sehe ich denn wo die Funktion stetig ist? 
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| 29.08.2017, 12:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deswegen habe ich ja auch gesagt, daß du versuchsweise eine Skizze machen sollst. Bei dieser Funktion geht das natürlich nur ziemlich grob, aber es soll ja auch nur Hinweise liefern. 
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| 30.08.2017, 09:47 | Mini89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also wenn ich das zeichne entstehen immer an den irrationalen Stellen Sprünge aber trotzdem glaube ich das die Funktion stetig in null ist.
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| 30.08.2017, 10:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oder an den rationalen Stellen, je nachdem, von wo man guckt. 
Korrekt. Das müßtest du jetzt mittels der Definition der Stetigkeit nachweisen. |
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| 30.08.2017, 10:34 | Mini89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab jetzt mal was versucht aber ich weiß nicht so recht. Sei Delta=epsilon, dann gilt |
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| 30.08.2017, 10:41 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
OK. Da wir uns die Stelle x_0=0 anschauen, müßtest du nun diese Implikation zeigen: Wegen der "komischen" Funktionsdefinition mußt du dabei die Fälle " x rational" und "x irrational" separat untersuchen.
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| 30.08.2017, 10:58 | Mini89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok ich verstehe nur ist das nun richtig was ich gemacht habe außer das ich es nicht aufgespalten habe in rational und irrational?
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| 30.08.2017, 11:12 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Obiges gilt natürlich nur für rationales x. Außerdem sollte das so lauten: |
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| 30.08.2017, 14:26 | Mini89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok also: Für x rational gilt: Für x irrational gilt: Stimmt das nun?
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| 30.08.2017, 14:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann man gelten lassen. Jetzt mußt du noch das Verhalten der Funktion außerhalb von x_0=0 prüfen.
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| 30.08.2017, 15:03 | Mini89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Uii und was wäre ein Ansatz?
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| 30.08.2017, 15:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nun ja, du mußt erst mal einen Verdacht äußern: stetig oder nicht stetig, das ist die Frage.
Bei "nicht stetig" mußt du zeigen, daß die esilon-delta-Definition nicht erfüllt werden kann. |
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| 31.08.2017, 13:30 | Mini89 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nehmen wir an xn sei eine rationale folge ungleich 0 und würde gegen x konvergieren. X ist nicht 0. Und sei yn eine irrationale folge ungleich 0 und würde gegen x konvergieren. X ist nicht 0. Dann folgt: lim f(xn) = x limf(yn)= 0 Da f(xn) ungleich f(yn) kann f nicht stetig sein. Wir haben für diesen Beweis gezeigt das sich jede Irrationale zahl durch eine folge rationaler zahlen annähren lässt und jede rationale zahl durch eine folge irrationaler zahlen annähten lässt. Das heisst die rationalen und irrationalen zahlen liegen dicht in R. Das bedeutet das in jeder umgebung einer beliebigen reellen zahl sowohl rationale als auch irrationale zahlen gibt. Stimmt das?
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| 31.08.2017, 13:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Beweis ist ok und es reicht ja auch schon diese Eigenschaft:
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