Divergenz einer Funktion

29.08.2017, 09:29

lissy1234567

Divergenz einer Funktion

Meine Frage:
Hey,

Ich komme gerade nicht weiter: In einem Buch, das ich lese, wird behauptet, dass die Funktion
$\begin{eqnarray*} w(x) = \frac{(x-x_{0}) }{| x-x_{0}|^{3} } \end{eqnarray*}$
Divergenz 0 hat, das bedeutet $\begin{eqnarray*} \nabla*w(x) = 0 , x \neq x_{0} \end{eqnarray*}$
wobei die x's (Thema Physik) für die Koordinaten eines Raumes stehen.
(Vgl. Mathematische Modellierung von Eck, Garcke und Knabner, Seite 274, hier ein Ausschnitt:
"Die Wirkung der Punktladung q0 auf andere Ladungen im
Raum wird durch ein Kraftfeld beschrieben, das elektrische Feld E. Dieses ist
so definiert, dass auf eine Ladung q an der Stelle x gerade die Kraft F(x) = q*E(x) wirkt.Durch Vergleich mit (5.64) sieht man, dass das von der Punktladung
q0 an der Stelle x0 erzeugte elektrische Feld gegeben ist durch
E(x) = k*q0* w(x). ")
Vielleicht trägt es zum Verständnis bei.

Meine Ideen:
Jedenfalls ist es eigentlich eine ganz simple Aufgabe, die Divergenz zu berechnen, aber es kommt nicht 0 raus. Ich habe zum Beispiel x als 3D-Vektor (a,b,c) definiert und den Betrag zu einem Wurzel-Wirrwarr umgeschrieben, ganz gemäßg der Definition des Betrags eines Vektors.
Dann habe ich abgeleitet, nach a,b und c und das ganze addiert, aber es kommt niemals 0 raus unglücklich

Mich verwirrt auch sehr, dass man beim Ableiten irgendwann etwas wie z.B.
$\begin{eqnarray*} \frac{-3}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} 2 (x-x_{0}) ((x-x_{0}) + (y-y_{0}) + (z-z_{0}))^{\frac{-5}{2}} \end{eqnarray*}$ stehen hat, kann man dann einfach den Vektor mit dem anderen Multiplizieren, sodass im 1. Eintrag dann sozusagen alles steht und in den anderen beiden 0 ?

Kann mir jemand helfen?

29.08.2017, 09:43

HAL 9000

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Es kommt sehr wohl Null raus, wenn du richtig rechnest. Wir haben $\begin{align*} w(x,y,z) = \left( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 \right)^{-3/2} \begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\\z-z_0\end{pmatrix} \end{align*}$ ,

dann kommt streng nach Produktregel heraus

$\begin{align*} \frac{\partial w_1}{\partial x} &= -\frac{3}{2} \left( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 \right)^{-5/2}\cdot 2(x-x_0)\cdot (x-x_0) + \left( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 \right)^{-3/2}\cdot 1\\ &= \left( -2(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2+(z-z_0)^2 \right)\cdot \left( (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 \right)^{-5/2} \end{align*}$ .

Entsprechend sind $\begin{align*} \frac{\partial w_2}{\partial y} \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{\partial w_3}{\partial z} \end{align*}$ zu berechnen.

29.08.2017, 10:02

lissy1234567

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Super, vielen Dank !!

Mich plagt inzwischen ein weiteres Problem.
Gegeben ein Ball mit Radius R, sagen wir R=2 (also beliebig) um $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ , dann soll das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{Rand von B_{R}(x_{0})}^{} \! w*n \, ds_{x} = 4\pi \end{eqnarray*}$ sein.
Wie kann ich das berechnen und nachweisen ?

29.08.2017, 10:09

HAL 9000

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Ich mag mich gelegentlich verrechnen, und noch öfter verschreiben. Hier aber nicht. Augenzwinkern

EDIT: ... tatsächlich an einer Stelle verschrieben, da war ein $\begin{align*} y_0 \end{align*}$ statt eines $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ reingerutscht. Kein substanzieller Fehler, und auch schon korrigiert.

29.08.2017, 10:18

lissy1234567

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Danke, habe soeben meinen Post auch schon korrigiert, da ich schon wieder ne neue Frage habe smile

29.08.2017, 10:20

HAL 9000

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Ich sehe keine diesbezügliche Korrektur, sondern immer noch denselben Fehlervorwurf verbunden mit einem "trotzdem".

29.08.2017, 10:25

lissy1234567

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Achso, ja stimmt, das hab ich ganz übersehen. Ich korrigier es nochmal schnell, mir ging es eigentich um meine neue Frage Big Laugh

29.08.2017, 10:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von lissy1234567
Gegeben ein Ball mit Radius R, sagen wir R=2 (also beliebig) um $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ , dann soll das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{Rand von B_{R}(x_{0})}^{} \! w*n \, ds_{x} = 4\pi \end{eqnarray*}$ sein.

Vielleicht einfach mal den Integranden näher anschauen? Bei einer solchen Vollkugel gilt für alle Randpunkte $\begin{align*} (x,y,z)\in \partial B_R(x_0,y_0,z_0) \end{align*}$ die Gleichung $\begin{align*} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2 \end{align*}$ und zudem $\begin{align*} \vec{n} = \frac{1}{R} \begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\\z-z_0\end{pmatrix} \end{align*}$ . Damit hat man sofort für $\begin{align*} (x,y,z)\in \partial B_R(x_0,y_0,z_0) \end{align*}$

$\begin{align*} w(x,y,z)\cdot \vec{n} = \frac{1}{R^3}\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\\z-z_0\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{R} \begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\\z-z_0\end{pmatrix} = \frac{R^2}{R^4} = \frac{1}{R^2} \end{align*}$ ,

man integriert also die Konstante $\begin{align*} \frac{1}{R^2} \end{align*}$ über die Kugeloberfläche der Größe $\begin{align*} 4\pi R^2 \end{align*}$ .

29.08.2017, 11:15

lissy1234567

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Darauf wäre ich nicht gekommen, ich bin mit der Differentialgeometrie und diesen Integralen nicht sehr vertraut, vielen Dank.

Deine Lösung kann ich nachvollziehen, allerdings verstehe ich nicht, wie du auf den Normalenvektor kommst.

29.08.2017, 11:20

lissy1234567

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Bin schon eben drauf gekommen, hat sich also erledigt, merci ! smile

29.08.2017, 11:21

HAL 9000

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In jedem Punkt der Kugeloberfläche steht der Radiusvektor senkrecht auf der entsprechenden Tangentialfläche in diesem Punkt. Das bedeutet dann was für den Normaleneinheitsvektor des Oberflächenelements?

EDIT: Ok, hast es wohl inzwischen.

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