Mittelwertsatz - Konkrete Aufgabe

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Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
Mittelwertsatz - Konkrete Aufgabe
Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich stehe mal wieder vor eine Aufgabe wie der Ochs' vor´m Berg.

Man soll folgendes zeigen:

Für alle mit 0 < x < y gilt:


Hinweis: Log-Rechenregeln und Mittelwertsatz.


Meine Ideen:

Zum Mittelwertsatz weiß ich:



Sprich ist f zwischen a und b überall diff'bar, gibt es ein xi.

Ich habe dann angefangen mir zu überlegen, was denn der linke, mittlere und rechte Ausdruch für Werte annehmen kann. Man kann und soll wohl auch, den mittleren Ausdruck umschreiben in

ist definitiv >0 und <1, da 0 < x < y
ist definitiv >0, da 0 < x < y. Er kann aber ganz R annehmen, da y > x.
ist stets > 0, wobei die einzelnen Ausdrücke durchaus negativ sein können.

Ich habe mal einfach so überlegt, dass ich beim Mittelwertsatz für f(a) = ln(x) nehmen und für f(b) = ln(y).

ln(y)-ln(x) = f'(xi)(y-x)

f'(xi) = (1/xi)(y-x)

Bezeweifel irgendwie das dies der richtige Ansatz ist. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Danke und viele Grüße
Felix

EDIT: Latexcode verbessert. (klarsoweit)
Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz - Konkrete Aufgabe
Danke fürs korrigieren. Konnte den Beitrag nicht editieren.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz - Konkrete Aufgabe
Zitat:
Original von Felixxxxxx
Zum Mittelwertsatz weiß ich:



Korrekt ist:

Zitat:
Original von Felixxxxxx
f'(xi) = (1/xi)(y-x)

Wenn du als Funktion f(x) = ln(x) nimmst, dann ist

Fangen wir mal mit der rechten Seite der Ungleichung an. Für den Mittelwertsatz wählst du a=1 und f(x) = ln(x) . Für ein b > a wendest du nun den Mittelwertsatz an. smile

Übrigens: du kannst Beiträge für 15 Minuten editieren, wenn du angemeldet bist. Augenzwinkern
Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz - Konkrete Aufgabe
Huhu,

habe leider mein Passwort vergessen und die Mailadresse spinnt. Ich muss mich mal mit einer anderen Mailadresse anmelden.
Der Mittelwertsatz ist natürlich eine Gleichung, danke!

x = a
y = b, um der Aufgabestellung gerecht zu werden:
x = 1 und f(x) = ln(x), nach deinem Vorschlag


oder ich bringe y-1 rüber, was mir aber glaub nichts bringt.


Ich würde das mal zum Test in die Ursprungsgleichung einsetzen für ln(y) und x = 1:



Für mich sieht die Ungleichung logisch aus, vor allen Dingen der Schritt von der Mitte nach Rechts. Aber ob das reicht ...
Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz - Konkrete Aufgabe
Anstatt von ln(y) müsste da ja f(y) stehen, da ich ja nur f(x) = ln(x) gesetze habe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz - Konkrete Aufgabe
Zitat:
Original von Felixxxxxx


Ich belasse es bei dem b, weil das dem Mittelwertsatz gerecht wird:



Wegen xi >= a=1 folgt:

Setze nun b=y/x ein, und du hast die rechte Seite der Ungleichung. Dann mußt du noch die linke Seite beweisen. Augenzwinkern
 
 
Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mittelwertsatz - Konkrete Aufgabe
Hallo,

vielen Dank für Deine Antwort. Wir haben das gerade in einer Vorrechenübung gemacht. Dort wurde folgender Weg beschrieben, der dem von Dir vorgeschlagenen Weg sehr ähnlich ist:

Der Mittelwertsatz bleibt natürlich:


Aufgabe + Berechnung:


1 wurde jeweils um y/y oder x/x ersetzt, dann wurde geteilt durch (y-x), und gekürzt

Der Mittelwertsatz sagt jetzt für :

Jetzt teilen wir durch (y-x) und leiten den ln ab:


Dies entspricht dem mittleren Term der umgeformten und erweiterten Aufgabe:


Daraus kann ich jetzt folgern, dass zwischen a und b liegt, oder, so wie es der MWST aussagt, oder?

Danke und Grüße
Felix
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kausalität geht aber in die andere Richtung: Der Mittelwertsatz sagt, dass für dieses existente die Ungleichung gilt, daraus folgt , was via dann zu



und dann den ganzen Weg zurück in deiner Äquivalenzkette führt. So wird logisch stringent ein Schuh draus.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte auch die Aussage



beweisen. Der Graph des natürlichen Logarithmus verläuft unterhalb seiner Tangenten an der Nullstelle (Konkavität des Logarithmus). Damit ist die rechte Ungleichung klar. Und die linke folgt, indem man in der rechten Ungleichung durch substituiert.
Und mit folgt schließlich die Aussage der Aufgabe. (Wozu braucht man eigentlich ?)
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