Inhomogene lineare Differentialgleichung 2ter Ordnung lösen

29.08.2017, 14:33

Sahit

Inhomogene lineare Differentialgleichung 2ter Ordnung lösen

Es geht um folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} y''+2y'+5y=3*\sin(2x) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: Als erstes ermittle ich y_H

$\begin{eqnarray*} y_{H}=c_{1}*e^{-x}*\cos(2x)+c_{2}*e^{-x}*\sin(2x) \end{eqnarray*}$

So jetzt zur Störfunktion:

$\begin{eqnarray*} s(x)=3*\sin(x2) \end{eqnarray*}$

und hier harkt es nun etwas

Nach Vorlesungsskript sieht die Störfunktion folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} s(x)= e^{ux}((b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m})\cos(vx)+(a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n})\sin(vx)) \end{eqnarray*}$

y_P berechnet sich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} y_{P}(x)=x^{k}*e^{ux}*((p_{0}+p_{1}x+...+p_{m}x^{m})\cos(vx)+(q_{0}+q_{1}x+...+q_{n}x^{n})\sin(vx)) \end{eqnarray*}$

Schaue ich mir nun mein s(x) an so müsste ja alles mit b = 0 sein da kein cos in s(x) vorhanden ist. Ich kann allerdings sehen das v = 2 ist. Um K zu bekommen brauche ich jetzt noch u. Hier komme ich dann nicht wirklich weiter.

Die Lösung besagt:
$\begin{eqnarray*} y_{P}= p_{0}*\sin(2x)+q_{0}*\cos(2x) \end{eqnarray*}$

Hier habe ich jetzt 2 Probleme mit denen ich nicht weiter komme:

1. Damit müsste ja u=0 sein da ja keine e Funktion vorhanden ist. Wie komme ich darauf?

2. nach der Formel aus dem Skript müsste sich ja eigendlich folgendes ergeben:

$\begin{eqnarray*} y_{P}= p_{0}*\cos(2x)+q_{0}*\sin(2x) \end{eqnarray*}$

Warum ist hier der cos und der sin vertauscht?

29.08.2017, 14:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sahit
Nach Vorlesungsskript sieht die Störfunktion folgendermaßen aus:

$\begin{eqnarray*} s(x)= e^{ux}((b_{0}+b_{1}x+...+b_{m}x^{m})\cos(vx)+(a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n})\sin(vx)) \end{eqnarray*}$

y_P berechnet sich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} y_{P}(x)=x^{k}*e^{ux}*((p_{0}+p_{1}x+...+p_{m}x^{m})\cos(vx)+(q_{0}+q_{1}x+...+q_{n}x^{n})\sin(vx)) \end{eqnarray*}$

Wenn das wirklich genauso in deinem Skript steht, dann ist das im Detail falsch: Tatsächlich müsste es so lauten:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y_{P}(x)=x^{k}*e^{ux}*((p_{0}+p_{1}x+...+p_{r}x^{r})\cos(vx)+(q_{0}+q_{1}x+...+q_{r}x^{r})\sin(vx)) \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} r=\max(m,n) \end{eqnarray*}$ zu wählen!

Zitat:

Original von Sahit
1. Damit müsste ja u=0 sein da ja keine e Funktion vorhanden ist. Wie komme ich darauf?

Wenn keine e-Funktion drin ist, dann nutzt man $\begin{align*} 1=e^0 = e^{0x} \end{align*}$ , also eben $\begin{align*} u=0 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Sahit
2. nach der Formel aus dem Skript müsste sich ja eigendlich folgendes ergeben:

$\begin{eqnarray*} y_{P}= p_{0}*\cos(2x)+q_{0}*\sin(2x) \end{eqnarray*}$

Warum ist hier der cos und der sin vertauscht?

Das ist doch wurstegal, ob man mit Ansatz $\begin{eqnarray*} y_{P}= p_{0}*\cos(2x)+q_{0}*\sin(2x) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y_{P}= q_{0}*\cos(2x)+p_{0}*\sin(2x) \end{eqnarray*}$ arbeitet, die Bezeichner $\begin{align*} p_0,q_0 \end{align*}$ sind eh nur Platzhalter, bis deren Werte berechnet sind, am Ende nach dem Einsetzen der berechneten Werte interessiert doch keinen mehr, wie die zwischendurch mal genannt wurden. Du kannst sie auch $\begin{align*} Sahit_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} Sahit_2 \end{align*}$ nennen, egal.

29.08.2017, 15:00

Sahit

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Sehe ich das dann richtig für meinen Fall m=0 und n=1 wäre?

Ok das mit
$\begin{eqnarray*} e^{0} = 1 \end{eqnarray*}$
war mir schon klar mich hat da nur die 3 von 3*sin(2x) etwas Irritiert.

Danke schon mal für die schnelle Antwort dann will ichs nochmal versuchen Augenzwinkern

Edit: Ok nochmal genau hingesehen das oben war falsch also m=0 n=0 da ja nichts mit x Multipliziert wird.

29.08.2017, 15:04

HAL 9000

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Nein, in deinem Fall ist auf jeden Fall $\begin{align*} n=0 \end{align*}$ .

Beim Wert von $\begin{align*} m \end{align*}$ scheiden sich die Geister in dem Fall, dass gar kein Kosinusterm da ist: Die einen meinen $\begin{align*} m=0 \end{align*}$ , die anderen (so wie ich) würden da sogar von $\begin{align*} m=-1 \end{align*}$ sprechen. Augenzwinkern

Letzendlich ist es egal: Bei beiden Sichtweisen ist $\begin{align*} r=\max(m,n)=0 \end{align*}$ .

29.08.2017, 15:09

Sahit

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Gut Ok dann weis ich jetzt weiter. Anschließend müsste ich ja mit einen Koeffizientenvergleich q0 und p0 berechnen können und danach ist es ja einfach nur noch einsetzen und fertig.

Ich danke dir für die schnelle Hilfe!

29.08.2017, 15:17

HAL 9000

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Ja genau. Und kannst ruhig den Verfasser des Vorlesungsskripts auf diese leichte Ungenauigkeit hinweisen - es lassen sich ohne weiteres Beispiele angeben, wo der o.g. Originalansatz unzureichend ist, im einfachsten Fall etwa $\begin{align*} y'=x\sin(x) \end{align*}$ .

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