Grenzwert mit Betrag

29.08.2017, 21:46	FelixHelix	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert mit Betrag Hallo allerseits, ich feile gerade an diesem Grenzwert herum: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\|x\|^{\frac{3}{2}}}{\sin(x)} \end{eqnarray}$ Ich wäre so vorgegangen: Mit dem rechtsseitigen Grenzwert sind meine x alle positiv, also kann ich den Betrag weglassen und kann dann L'Hopsital anwenden: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^+} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{\cos(x)} = \frac{0}{1} = 0 \end{eqnarray}$ Mit dem linksseitigen Grenzwert sind meine x alle negativ, also verwende ich die Definition der Betragsfunktion und ersetze den Betrag durch -x. $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^-} \frac{(-x)^{\frac{3}{2}}}{\sin(x)} = \lim_{x \to 0^-} \frac{(-1) \cdot \frac{3}{2} \cdot (-x)^{\frac{1}{2}}}{\cos(x)} = \frac{0}{1} = 0 \end{eqnarray}$ Da rechtsseitiger, als auch linksseitiger Grenzwert übereinstimmen ist der Grenzwert also 0. Darf man das so machen mit dem Auflösen des Betrages?
29.08.2017, 22:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Rechnung und die Resultate sind richtig. mY+
30.08.2017, 14:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kürzere Begründung könnte auch wie folgt aussehen: Es gilt $\begin{eqnarray} \lim_{x\to0 } \frac { x } {\sin(x) } = 1 \end{eqnarray}$ . Das ist ein bekannter Grenzwert, der sich auf verschiedene Arten zeigen laesst. Damit ist $\begin{eqnarray} \lim_{x\to0 } \left \| \frac { \|x\|^{3/2} } {\sin(x) } \right\|= \lim_{x\to0 } \left(\underbrace{\|x\|^{1/2}}_{\to 0} \underbrace{\left \| \frac { x} {\sin(x) } \right\|}_{\to 1} \right)=0. \end{eqnarray}$ Also auch $\begin{eqnarray} \lim_{x\to0 } \frac { \|x\|^{3/2} } {\sin(x) } = 0 \end{eqnarray}$ .
30.08.2017, 14:42	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das komplette auch "vorzeichenbehaftete" Verhalten der Funktion in der Nähe des Nullpunkts zu beleuchten kann man in ähnlicher Weise wie IfindU vorgehen, nur bezogen auf die Zerlegung $\begin{align} \frac{\|x\|^{\frac{3}{2}}}{\sin(x)} = \underbrace{\frac{x}{\sin(x)}}_{\to 1}\cdot \operatorname{sgn}(x)\sqrt{\|x\|} \end{align}$ , wobei der letztere Faktor die Quadratwurzelfunktion plus deren Punktspiegelung am Ursprung darstellt.

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