Uneigentliches Integral Substitution, Grenzen?

30.08.2017, 11:32

Doenertier

Uneigentliches Integral Substitution, Grenzen?

Liebes Matheboard,

ich werde seit Tagen gepeinigt von folgender Frage: Wenn ich ein uneigentliches Integral habe und dieses per Substitution lösen möchte. Muss ich dann die Grenzen einfach mitsubstituieren oder was passiert da? Beispiel:

Die Substitution ist $\begin{eqnarray*} u = \ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{5}^{\infty} \! \frac{\ln(\ln(x))}{x \cdot \ln^2(x)} \, dx = \lim_{r \to \infty} \int_{5}^{r} \! \frac{\ln(\ln(x))}{x \cdot \ln^2(x)} \, dx = \lim_{r \to \infty} \int_{\ln(5)}^{\ln(r)} \! \frac{\ln(u)}{u^2} \, du = \lim_{r \to \infty} \int_{\ln(5)}^{r} \! \frac{\ln(u)}{u^2} \, du \end{eqnarray*}$

Es geht speziell um die letzten beiden Gleichheiten. Muss ich die Integrationsgrenzen einfach durch die Substitution "jagen" so wie schon beim normalen Integrieren? Darf ich dann die obere Grenzen ln(r) durch r ersetzen, da ja beide Terme gegen uendlich streben? Mérci beaucoup Herz

30.08.2017, 11:49

klarsoweit

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RE: uneigentliches Integral Substitution, Grenzen?
Du "jagst" zunächst die obere Grenze r durch die Substitution und löst das bestimmte Integral (Grenzen einsetzen, ...). Danach läßt du das r nach unendlich gehen. smile

Du kannst aber nicht die obere Grenze ln(r) einfach durch r ersetzen. Das ist nicht nur formal, sondern auch faktisch falsch.

30.08.2017, 12:04

Leopold

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RE: uneigentliches Integral Substitution, Grenzen?

Zitat:

Original von klarsoweit
Du kannst aber nicht die obere Grenze ln(r) einfach durch r ersetzen. Das ist nicht nur formal, sondern auch faktisch falsch.

Doch, das geht schon. $\begin{align*} \ln(r) \end{align*}$ darf durch $\begin{align*} r \end{align*}$ substituiert werden. Das ist erlaubt, weil mit $\begin{align*} r \to \infty \end{align*}$ auch $\begin{align*} \ln(r) \to \infty \end{align*}$ strebt und weil $\begin{align*} r \end{align*}$ eine gebundene Variable ist (und zwar an das Limeszeichen). Ohne Limeszeichen wäre die Ersetzung nicht erlaubt. Eine andere Frage ist, ob das didaktisch sinnvoll ist. Vielleicht wäre es besser, $\begin{align*} s = \ln(r) \end{align*}$ zu substituieren und im letzen Limes $\begin{align*} s \to \infty \end{align*}$ streben zu lassen.

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