Anfangswertproblem

30.08.2017, 11:38

Knightfire12

Anfangswertproblem

Meine Frage:
Hallo,

wie kann ich denn die folgende Aufgabe lösen?

$\begin{eqnarray*} \dot { x } =\quad -2tx+te^{ { -t }^{ 2 } }\quad mit\quad x(0)=0 \end{eqnarray*}$

Mit dem "normalen Weg" kam ich auf keine Lösung, also Trennung der Variable allg. klappt nicht mal... wie soll ich denn den Teil mit x rüber auf die andere Seite bringen?

vielleicht hilft mir ja Substitution weiter aber was soll ich substituieren?

mfg,

danke im Vorraus.

Meine Ideen:
...

30.08.2017, 11:45

klarsoweit

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RE: Lösen Sie das Anfangswertproblem x? = ?2tx + te^?t^2 mit x(0) = 0

Zitat:

Original von Knightfire12
Mit dem "normalen Weg" kam ich auf keine Lösung, also Trennung der Variable allg. klappt nicht mal.

Wieso nicht? Du solltest dabei "nur" das homogene Problem betrachten:

$\begin{eqnarray*} \dot{x} = -2tx \end{eqnarray*}$

30.08.2017, 12:00

Knightfire66

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RE: Lösen Sie das Anfangswertproblem x? = ?2tx + te^?t^2 mit x(0) = 0
ok ich habe nur diesen Teil ausgerechnet ich komme auf:

x = e^-t²

und was mache ich mit dem zweiten summanden?

was heißt homogener teil? hat es was mit summanden zutun? also wenn man mehrere hat, dass man diese sich einzeln vorknüpft?

Du bist hier mehrfach angemeldet. Der User Knightfire12 wird daher demnächst gelöscht. Steffen

30.08.2017, 13:39

klarsoweit

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RE: Lösen Sie das Anfangswertproblem x? = ?2tx + te^?t^2 mit x(0) = 0

Zitat:

Original von Knightfire66
was heißt homogener teil?

Ich dachte, du würdest den Begriff "homogene lineare DGL" kennen.

Die DGL $\begin{eqnarray*} \dot{x} + 2tx = 0 \end{eqnarray*}$ ist eine solche.

Zitat:

Original von Knightfire66
und was mache ich mit dem zweiten summanden?

Schau mal in deinen Unterlagen unter "Variation der Konstanten" nach. smile

30.08.2017, 14:53

Knightfire66

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RE: Lösen Sie das Anfangswertproblem x? = ?2tx + te^?t^2 mit x(0) = 0
ist meine teillösung also falsch?

naja ich könnte beim zweiten teil jetzt t durch f(x) ersetzen und diesen teil ableiten...so geht doch variation der konstanten?

also:

$\begin{eqnarray*} \dot { x } =\quad f(x)*{ e }^{ -t^{ 2 } } \end{eqnarray*}$
Ableiten:
$\begin{eqnarray*} \dot { x } =\quad f(x)'*{ e }^{ -t^{ 2 } }+f(x)*(-2tx+te^{ -t^{ 2 } }) \end{eqnarray*}$

Laut variation der konstanten sollte das nun einfacher sein aber da fliegt leider nix raus?

kann ich jetzt eventuell das x mit meiner vorherigen lösung ersetzen? -wenn ja dann komm ich trotzdem nicht weiter, denn es kürzt sich wieder nix weg...

30.08.2017, 15:38

HAL 9000

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Was fabriziert du da bloß für einen Murks zusammen. unglücklich

Die unabhängige Variable in deiner DGL ist nicht $\begin{align*} x \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} t \end{align*}$ . Der Ansatz per Variation der Konstanten lautet demnach $\begin{align*} x_p = f(t)\cdot e^{-t^2} \end{align*}$ , und die Differentiation nach $\begin{align*} t \end{align*}$ ergibt

$\begin{align*} \dot{x}_p = \left( \frac{\dd}{\dd t} f(t) \right)\cdot e^{-t^2} + f(t)\cdot \left( \frac{\dd}{\dd t} e^{-t^2} \right) = f'(t) e^{-t^2} + f(t) (-2t)e^{-t^2} \end{align*}$

So, und diese nun in die DGL einsetzen, zusammen mit $\begin{align*} x_p \end{align*}$ selbst:

$\begin{align*} f'(t) e^{-t^2} - f(t) 2te^{-t^2} = -2t f(t)\cdot e^{-t^2} + te^{-t^2} \end{align*}$ .

30.08.2017, 15:52

Knightfire66

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ahso ok ich muss $\begin{eqnarray*} \dot { x } \end{eqnarray*}$ = die Ableitung setzen... und dabei $\begin{eqnarray*} f(x){ \cdot e }^{ -t^{ 2 } } \end{eqnarray*}$ für x einsetzen? (substitution? aber statt x? und nciht u oderso?)

wusst ich nciht deswegen kam ich auch nciht weiter... Forum Kloppe

jetzt kürzt sich -2t* $\begin{eqnarray*} f(x){ \cdot e }^{ -t^{ 2 } } \end{eqnarray*}$ weg.

und nach f'(t) umformen = t

integrieren f(t) = 1/2t^2 + C

A.B. -> C=0;

und jetzt wie setze ich das alles zusammen?

30.08.2017, 16:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Knightfire66
ahso ok ich muss $\begin{eqnarray*} \dot { x } \end{eqnarray*}$ = die Ableitung setzen... und dabei $\begin{eqnarray*} f(x){ \cdot e }^{ -t^{ 2 } } \end{eqnarray*}$ für x einsetzen?

Hää, was soll das? verwirrt

Du setzt den Ansatz $\begin{align*} x_p = f(t)\cdot e^{-t^2} \end{align*}$ in deine DGL ein.

Zitat:

Original von Knightfire66
integrieren f(t) = 1/2t^2 + C

Damit gehst du wieder zurück in deinen Ansatz. Fertig. Die Konstante ergibt sich aus der Anfangsbedingung.

30.08.2017, 16:12

Knightfire66

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Also:

$\begin{eqnarray*} \dot{x} \end{eqnarray*}$ =(1/2t^2 + C) $\begin{eqnarray*} { \cdot e }^{ -t^{ 2 } } \end{eqnarray*}$

<=>

$\begin{eqnarray*} \dot{x}=\frac { 1 }{ 2 } { t }^{ 2 }{ \cdot e }^{ -t^{ 2 } }+C{ \cdot e }^{ -t^{ 2 } } \end{eqnarray*}$

Anfangswertbedingung x(0)=0; -> C=0

=>

$\begin{eqnarray*} \dot{x}=\frac { 1 }{ 2 } { t }^{ 2 }{ \cdot e }^{ -t^{ 2 } } \end{eqnarray*}$

30.08.2017, 16:22

HAL 9000

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Es wäre äußerst hilfreich, wenn du $\begin{align*} \dot{x} \end{align*}$ nur dort schreibst, wo Ableitung $\begin{align*} \dot{x} \end{align*}$ hingehört, und $\begin{align*} x \end{align*}$ dort, wo die tatsächliche Funktion $\begin{align*} x \end{align*}$ hingehört. Dieses Ärgernis zieht sich durch viele deiner Beiträge. unglücklich

30.08.2017, 16:30

Knightfire66

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stimmt... ich sollte hier kein x punkt haben... liegt daran, dass ich immer mit dem selben latex code arbeite und diesen nur bearbeite... hab am ende vergessen den punkt wegzumachen...

danke dir für deine Hilfe! Gott

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