Partiell differenzierbar

30.08.2017, 12:26

Maha

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Partiell differenzierbar

Meine Frage:
Hallo allerseits ich habe eine Aufgabe(Siehe Bild)

Ich bin gerade bei der b)

Meine Ideen:
Meine Idee zu der b)

Die Partiellen Ableitungen existieren es muss nur sichergestelt werden das diese auch im Punkt (0,0) Existieren.

Mit der Definition haben wir :

$\begin{eqnarray*} D_x(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h \to 0} 0/h =0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} D_y(0,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h \to 0} 0/h =0 \end{eqnarray*}$

Also ist die Funktion überall Partiell DIfferenzierbar.
Die Partiellen Ableitungen für alle Punkte ungleich (0,0) sind Stetig. Denn die Komposition von Stetigen Funktionen ist wieder Stetig. Also sind für alle Punkte ungleich (0,0) die Funktion Stetig Partiell Diffbar und somit für alle ungleich (0,0) Total Diffbar.
Es ist nur noch zu überprüfen ob die Funktion an der stelle (0,0) Total Diffbar ist.

Nun will ich zeigen das die Funktion nich Total Differenzierbar ist im Punkt (0,0). Das will ich direkt mit der Definition machen.
Wenn die Funktion Total Differenzierbar wäre müsste es ein r(h,b) geben mit

f(h,b)=f(0)+ Df(0,0)*(h,b) +r(h,b)

Und

$\begin{eqnarray*} \lim_{(h,b) \to (0,0)} \frac{r(h,b)}{||(h,b)||} =0 \end{eqnarray*}$

Nun aus der ersten Gleichung folgt

f(h,b)=r(h,b)

Wähle h=1/n und b=1/n

Daraus Folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{(h,b) \to (0,0)} \frac{\sqrt{\frac{1}{n^2} } }{\frac{\sqrt{2} }{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(h,b) \to (0,0)} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ und dies ist ungleich 0

stimmt der BEWEIS so?

30.08.2017, 13:42

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar

Zitat:

Original von Maha
Hallo allerseits ich habe eine Aufgabe(Siehe Bild)

Hm, ich sehe hier kein Bild. verwirrt

verwirrt

30.08.2017, 14:12

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
jetzt aber smile

smile

30.08.2017, 14:24

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar

Zitat:

Original von Maha
Die Partiellen Ableitungen für alle Punkte ungleich (0,0) sind Stetig.

Woran liest du das denn ab? Wie sieht das z. B. im Punkt (1,0) aus?

30.08.2017, 14:33

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Hier

Die Partiellen Ableitungen sind :

$\begin{eqnarray*} D_x(x,y)=\frac{y}{2\sqrt{|xy|} } \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} D_y(x,y)=\frac{x}{2\sqrt{|xy|} } \end{eqnarray*}$

und Der Quotient und die Komposition die von Stetigen Funktionen ist wieder Stetig

30.08.2017, 14:53

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar
Nun ja, die partiellen Ableitungen hängen auch noch irgendwie von den Vorzeichen von x und y ab. Und mit der Stetigkeit ist das auf den x- und y-Achsen so eine Sache. Da wäre ich mal ganz vorsichtig.

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30.08.2017, 14:57

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Sobald eine Komponente (x,y) 0 wird ist die Partielle Ableitung nicht Definiert von daher kann diese auch nicht Stetig sein an diesen Stellen. Ich muss also noch prüfen ob an diesen Stellen
wie (0,1) (1,0) Die Funktion Total Differenzierbar ist.
Für (0,0) habe ich es ja schon gezeigt gehabt ist der Beweis da richtig ?

30.08.2017, 15:54

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar

Zitat:

Original von Maha
Für (0,0) habe ich es ja schon gezeigt gehabt ist der Beweis da richtig ?

Nun ja. Gezeigt hast du, daß die Funktion dort nicht total differenzierbar ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.08.2017, 16:09

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Ja aber was ist denn jetzt ?
ist meine Idee falsch ? was soll ich jetzt machen kp ?

31.08.2017, 08:37

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar
Also zusammengefaßt haben wir dies:
- außerhalb der x- und y-Achse ist die Funktion total differenzierbar.
- im Punkt (0, 0) ist die Funktion nicht total differenzierbar. (Der Beweis ist ok.)

Jetzt fehlen aber noch die anderen Punkte der Koordinatenachsen.

31.08.2017, 10:39

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Also muss ich noch überprüfen ob die Funktion in (0,1) und (1,0) Total Differenzierbar ist.

Wie kann ich das am besten zeigen ?

Wieder mit der Definition?

31.08.2017, 11:04

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar

Zitat:

Original von Maha
Also muss ich noch überprüfen ob die Funktion in (0,1) und (1,0) Total Differenzierbar ist.

Ich habe nirgends gesagt, daß die Funktion dort total differenzierbar ist. Das ist ja gerade noch zu untersuchen. Außerdem sind das zwei beliebig herausgegriffene Punkte. Ich versuche dich ja die ganze Zeit dahin zu drängen, daß du die kompletten Koordinatenachsen betrachten mußt.

31.08.2017, 11:29

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Du meinst dann wohl (0,y) und (x,0) das Problem ist an diesen Punkten ist die Funktion nicht mal Partiell Differenzierbar wegen

$\begin{eqnarray*} D_{x} (x,0)= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D_{x} (x,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)- f(x,0)}{h} \end{eqnarray*}$

f(x,0) ist ja nicht Definiert wie könnte ich hier vorgehen?

31.08.2017, 11:43

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar

Zitat:

Original von Maha
Du meinst dann wohl (0,y) und (x,0)

Nun ja, eher (0, y_0) und (x_0, 0).

Zitat:

Original von Maha
das Problem ist an diesen Punkten ist die Funktion nicht mal Partiell Differenzierbar wegen

$\begin{eqnarray*} D_{x} (x,0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)- f(x,0)}{h} \end{eqnarray*}$

So wird ein Schuh draus:

$\begin{eqnarray*} Df_x (x_0,0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h,0)- f(x_0,0)}{h} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Maha
f(x,0) ist ja nicht Definiert wie könnte ich hier vorgehen?

Wieso sollte f(x, 0) nicht definiert sein? verwirrt

verwirrt

31.08.2017, 11:56

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
$\begin{eqnarray*} Df_{x} ( x_{0},0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h,0)- f(x_{0},0)}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{0 }{h} =0 \end{eqnarray*}$

Also Existiert die Partielle Ableitung an diesen Stellen

Und Analog für (0, y_0)

Stimmt das

31.08.2017, 12:42

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar
Ja. Freude

Freude

31.08.2017, 12:56

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Also muss ich noch prüfen ob an diesen Stellen die Funktion Total Differenzierbar ist oder ?

31.08.2017, 12:59

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar
Genau. smile

smile

31.08.2017, 13:16

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
da an diesen Stellen die Funktion nicht Stetig Partiell Differenzierbar ist muss ich eine andere untersuchung durchführen. Ich würde mit der Definition arbeiten.

Also es muss gelten :

$\begin{eqnarray*} f(x)=f(a)+\phi(x-a)+r(x) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to (x_{0},0)} \frac{r(x)}{||x-(x_{0},0)||} =0 \end{eqnarray*}$

wie ich das machen soll weiß ich aber nicht genau

kannst du mir helfen?

31.08.2017, 13:49

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Stop ich habe was übersehen..

$\begin{eqnarray*} Df_{x} ( x_{0},0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h,0)- f(x_{0},0)}{h} \end{eqnarray*}$

das stimmt zwar aber die Partielle Ableitung nach y also

$\begin{eqnarray*} Df_{y} ( x_{0},0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0},0+h)- f(x_{0},0)}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} Df_{y} ( x_{0},0)= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{|x_{0}*h|} }{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} Df_{y} ( x_{0},0)= \lim_{h \to 0} \sqrt{|x_{0}|} \frac{\sqrt{|h|} }{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} Df_{y} ( x_{0},0)= \lim_{h \to 0} \sqrt{|x_{0}|} \frac{1 }{\sqrt{h} } =\infty \end{eqnarray*}$

Also nach y nicht Partiell Differenzierbar insgesamt ist die Funktion an der stelle (x0,0) nicht Partiell Differenzierbar somit auch nicht Total DIffbar stimmt das

31.08.2017, 14:01

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar
Mist. Da war ich auch etwas schludrig. Du hast natürlich recht. Hammer

Hammer

31.08.2017, 14:06

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
und für (0,y_0) gilt es genau so

Die Funktion ist für den Punkt nach y Partiell Ableitbar und nach x ist es nicht Ableitbar.
Das heißt zusammengefasst :

Die Funktion ist an allen Stellen ungleich (0,0),(0,y_0), (x_0,0) Stetig Partiell Ableitbar und daraus Folgt das die Funktion an diesen Stellen Total Differenzierbar ist.

Die Funktion ist im Punnkt (0,0) Partiell Differenzierbar jedoch nicht total.
Die FUnktion ist in den Punkten (0,y_0), (x_0,0) nicht Partiell Differenzierbar und somit auch nicht Total.

Wenn ich das alles so schön und ordentlich aufschreiben würde wäre das auch in der Klausur ok?

31.08.2017, 14:53

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar
Ich würde davon ausgehen, aber eine Garantie kann ich natürlich nicht geben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.08.2017, 15:20

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
wegen der c)

Also hier in der Aufgabe bietet sich an zu Prüfen ob die Funktion an der Stelle (0,0) Stetig ist.

Wählen wir eine Folge (xn,yn)=(1/n,1/n) so Konvergiert die Folge gegen (0,0) und es gilt :

$\begin{eqnarray*} f(x_{n},y_{n})=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^2} }{\frac{\sqrt{3}+1}{n} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f(x_{n})=\lim_{n \to \infty } \frac{2*(\sqrt{3}+1) }{n} = \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich geht das auch gegen 0 verwirrt

verwirrt

31.08.2017, 15:37

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar

Zitat:

Original von Maha
$\begin{eqnarray*} f(x_{n},y_{n})=\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^2} }{\frac{\sqrt{3}+1}{n} } \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} f(x_{n})=\lim_{n \to \infty } \frac{2*(\sqrt{3}+1) }{n} = \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich geht das auch gegen 0 verwirrt

verwirrt

Wenn schon, dann muß es so lauten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_{n},y_{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^2}}{\frac{\sqrt{3+1}}{n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{\sqrt{3+1} \cdot n} = 0 \end{eqnarray*}$

Das beweist zwar nicht die Stetigkeit, aber wo ist da jetzt das Problem?

31.08.2017, 16:39

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Nein ich wollte eigentlich zeigen das die Funktion nicht Stetig ist hat aber nicht geklappt.
Diese ist dann wohl Stetig in (0,0) aber das zu Beweisen bringt mich ja nicht weiter..
Mhh verwirrt

verwirrt

Ich würde dann aufjedenfall mal versuchen zu zeigen das die Funktion Partiell Differenzierbar ist:

$\begin{eqnarray*} Df_{x}(x,y)=\frac{2y^3}{(3x^2+y^2)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Df_{y}(x,y)=\frac{6x^3}{(y^2+3x^2)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Die Partiellen Ableitungen Existieren für alle Punkte ungleich (0,0) und sind Sogar Stetig denn die Addition und Komposition von Stetigen Funktionen ist wieder Stetig.
Also können wir festhalten für alle Punkte ungleich (0,0) ist die Funktion Stetig Partiell Differenzierbar.

Es ist nur noch zu überprüfen ob die Funktion an der Stelle (0,0) Partiell Differenzierbar ist :;

$\begin{eqnarray*} Df_{x}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} Df_{x}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = 0 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} Df_{y}(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =0 \end{eqnarray*}$

Also ist die Funktion an der Stelle (0,0) Partiell Differenzierbar. Stellt sich nur die Frage ob die Funktion an dieser Stelle Stetig Differenzierbar ist . Dazu müssen wir überprüfen ob

$\begin{eqnarray*} Df_{x}(x,y) \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} Df_{y}(x,y) \end{eqnarray*}$ Stetig sind im Punkt (0,0) . Die FUnktionswerte sind

$\begin{eqnarray*} Df_{x}(0,0) =0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Df_{y}(0,0)=0 \end{eqnarray*}$ wie man in der oberen rechnung sieht.

Sei nun $\begin{eqnarray*} ( x_{n}, y_{n} ) \end{eqnarray*}$ eine Folge die für n gegen unendlich gegen
(0,0) Konvergiert. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } Df_{x}(x_n,y_n) =\lim_{n \to \infty } \frac{2y_{n}^3}{(3x_{n}^2+y_{n}^2)^\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Nun weiß ich nicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

01.09.2017, 08:39

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RE: Partiell Differenzierbar
Ich würde mir das mal für die Folge (x_n, y_n) = (0, 1/n) anschauen.

Das Problem ist nur: die Funktion könnte in (0, 0) trotzdem total differenzierbar sein, obwohl sie nicht stetig partiell differenzierbar ist. smile

smile

01.09.2017, 10:59

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Hm ich kann das schon sehen das die Funktion an der stelle (0,0) nicht Stetig Partiell Differenzierbar ist.
Die einzige Methode die Übrig bleibt ist mit der Definition zu arbeiten.

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{r(x,y)}{||(x,y)||} =0 \end{eqnarray*}$

Mit

f(x,y)= f(0,0) + 0 + r(x,y)
f(x,y)= r(x,y)

Also folgt daraus

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{2xy}{\sqrt{3x^2+y^2} } }{\sqrt{x^2+y^2} } =0 \end{eqnarray*}$

Wenn wir nun speziell die Folge (1/n, 1/n) wählen was ja gegen 0 Konvergiert bekommen wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{2/n^2}{2/n} }{\sqrt{2}/n } =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{1}{n} }{\sqrt{2}/n } =0 \end{eqnarray*}$

= wurzel(2) was ungleich 0 ist also nicht Total Differenzierbar

01.09.2017, 11:09

klarsoweit

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RE: Partiell Differenzierbar

Zitat:

Original von Maha
Wenn wir nun speziell die Folge (1/n, 1/n) wählen was ja gegen 0 Konvergiert bekommen wir

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{2/n^2}{2/n} }{\sqrt{2}/n } =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{1}{n} }{\sqrt{2}/n } =0 \end{eqnarray*}$

= wurzel(2) was ungleich 0 ist also nicht Total Differenzierbar

Erstens ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \sqrt 2 \end{eqnarray*}$ und zweitens ist das formal grausam, weil da ja auch Null in der Gleichung steht. Wenn du das noch verbesserst, wäre es insgesamt ok.

01.09.2017, 11:12

Maha

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RE: Partiell Differenzierbar
Ok danke das wars dann mit der Aufgabe smile

smile

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