Abstand eines Punktes zu einer Kurve in Parameterform

30.08.2017, 13:46	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand eines Punktes zu einer Kurve in Parameterform Hallo, ich habe folgendes Problem: Mir liegt eine Kurve in Parameterform wie folgt vor: $\begin{eqnarray} \vec r(t)= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\sin(t)\left(179-0.8\left(\frac{1}{\cos(4t)}-1\right)\right) \\ \cos(t)\left(179-0.8\left(\frac{1}{\cos(4t)}-1\right)\right)\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun habe ich unter der Kurve einen Punkt $\begin{eqnarray} P(x,y)=P(38,92/163,36) \end{eqnarray}$ in kartesischen Koordinaten gegeben. Ich suche den Abstand in y-Richtung von der Kurve zu dem Punkt. Nun weiß ich nicht, ob das überhaupt möglich ist. Bei einer normalen Funktion wäre es kein Problem, bei der Kurve leider schon. Die Betrachtung findet nur für $\begin{eqnarray} t\in\left[0,0.373064\right] \end{eqnarray}$ statt.
30.08.2017, 15:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man bestimmt die Parameterwerte $\begin{align} t \end{align}$ , für die $\begin{align} x(t) = 38{,}92 \end{align}$ gilt. Mit diesem Ansatz habe ich eine Gleichung fünften Grades in $\begin{align} \sin t \end{align}$ erhalten, die mit Hilfe eines CAS auf den Parameterwert $\begin{align} t = 0{,}2197474 \ldots \end{align}$ führte. Mit diesem Wert kann man schließlich die $\begin{align} y \end{align}$ -Koordinate des Kurvenpunkts berechnen: $\begin{align} A \approx \left( 38{,}92 ; 174{,}25 \right) \end{align}$
30.08.2017, 18:22	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, habe mich falsch ausgedrückt. Dass es so geht, weiß ich. Ich komme auch auf die Koordinaten mit einem CAS. Ich bräuchte sowas jedoch als Gleichung, welche ich letztendlich in ein Python-Skript implementieren kann. Die Kurve ist ja nun aber nicht umkehrbar soweit ich das verstanden habe. Gibt es da eine Möglichkeit?
31.08.2017, 16:18	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Leopolds Substitution $\begin{align} z= \sin t \end{align}$ führt ja mit $\begin{align} \cos 4t = 8( \cos t)^4 - 8( \cos t)^2 + 1 \end{align}$ und $\begin{align} ( \cos t)^2 = 1 - ( \sin t )^2 \end{align}$ auf die Gleichung $\begin{align} z \cdot \left( 179 - 0,8 \cdot \left( \frac 1 {8 \cdot (1-z^2) \cdot (1-z^2) - 8 \cdot (1-z^2) + 1} -1 \right) \right)=38,92 \end{align}$ Hier könnte man es mit einem Näherungsverfahren versuchen, das Problem ist allerdings, dass dieses in der Nähe der Nennernullstellen durcheinanderkommen kann und in einen falschen Wert konvergiert. Betrachtet man sich den Bruch im linken Term aber genauer, erkennt man, dass er außerhalb der Pole verhältnismäßig kleine Werte annimmt: Deswegen kann man den gesamten Subtrahenden vernachlässigen, da er fast überall deutlich kleiner als 179 ist. Damit vereinfacht sich die Gleichung zu $\begin{align} 179z=38,92 \end{align}$ . Viele Grüße Steffen
04.09.2017, 08:14	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe.

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