Gradient, Hesse Matrix, Extrempunkte

30.08.2017, 17:02

Mesut95

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Gradient, Hesse Matrix, Extrempunkte

Meine Frage:
Hi. Folgende Aufgabe.

Meine Ideen:
Für den Gradienten von f habe ich :

$\begin{eqnarray*} grad(f)= \begin{pmatrix} 3x^2-3y^2 \\ -6xy\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und die Hesse Matrix von f:

$\begin{eqnarray*} H_{f}(x,y)= \begin{pmatrix} 6x & -6y \\ -6y & -6x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gradient von g

$\begin{eqnarray*} grad(g)=\begin{pmatrix} 6xy \\ 3x^2-3y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und Hesse Matrix von g

$\begin{eqnarray*} H_{x,y}=\begin{pmatrix} 6y & 6x \\ 6x & -6y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bevor ich mich an die b mache wollte ich wissen ob das stimmt smile

smile

30.08.2017, 18:52

Mesut95

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Leute zu der b)

ich habe für f die Extrema (0,0) und wenn ich das in die Hesse Matrix einsetze kommt überall 0
was kann ich denn jetzt über die Definitheit sagen ? unglücklich

unglücklich

31.08.2017, 00:05

Mesut95

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Kein Helfer am Start was ist denn los hier geschockt

geschockt

31.08.2017, 10:58

Huggy

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a) ist richtig.

Zitat:

Original von Mesut95
ich habe für f die Extrema (0,0) und wenn ich das in die Hesse Matrix einsetze kommt überall 0
was kann ich denn jetzt über die Definitheit sagen ? unglücklich

unglücklich

Welche Kriterien zur Definitheit habt ihr gehabt?
Was ergibt sich daraus für die konkrete Hessematrix?

Bei Funktionen von 2 Variablen lassen sich die Kriterien für lokale Extrema und Sattelpunkte besonders einfach formulieren. Kennst du das?

31.08.2017, 11:15

Mesut95

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Du meinst mit der Definitheit?
Aber sind diese nur für Funktionen mit 2.Variablen Definiert ?
Ich würde aufjedenfall sagen da die Hesse-Matrix =0 ergibt kann keine genaue Aussage gemacht werden oder?

31.08.2017, 11:25

Huggy

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Zitat:

Original von Mesut95
Du meinst mit der Definitheit?

Ja.

Zitat:

Aber sind diese nur für Funktionen mit 2.Variablen Definiert ?

Nein, natürlich nicht. Nur werden die Kriterien bei nur 2 Varaiablen besonders einfach, wenn auch nicht so einfach wie bei nur einer Variablen.

Zitat:

Ich würde aufjedenfall sagen da die Hesse-Matrix =0 ergibt kann keine genaue Aussage gemacht werden oder?

Da stimmt zwar bezüglich dessen, was aus der Hessematrix folgt, muss aber begründet werden.
Und man kann ohne Betrachtug der Hessematrix eine Aussage treffen.

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31.08.2017, 11:35

Mesut95

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Hmm

verwirrt

Also die Extremstelle ist (0,0) Also nur ein Punkt hat das Potenzial ein Maximum,Minimum oder Sattelpunkt zu sein.
Hmm ... verwirrt

verwirrt

Ich habe echt keine Idee die Hesse Matrix ist Null d.h die 2.Ableitung verschwindet an dieser stelle und es kann keine Aussage gemacht mehr weiß ich leider auch nicht ..

31.08.2017, 11:43

Huggy

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Jetzt denk doch mal nach! Es geht doch um die Frage, ist die Hessematrix in dem kritischen Punkt (0,0) definit, semidefinit oder indefinit? Für diese Frage der Definitheit habt ihr Kriterien gehabt. Welche waren das?

Falls ihr einen Satz hatte, die 0-Matrix ist ..., kannst du ihn natürlich anwenden.

P. S. Bin jetzt erst mal 1 - 2 Stunden weg.

31.08.2017, 11:50

Mesut95

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Wenn alle Eigenwerte >0 sind dann Positiv Definit
Wenn alle Eigenwerte >=0 sind dann Positiv semidefinit
Wenn alle Eigenwerte <0 sind dann Negativ Definit
Wenn alle Eigenwerte <=0 sind dann Negativ Semidefinit
Wenn die Eigenwerte Negative und Positive Werte sind dann indefinit
Aber nirgends steht was ist wenn alles 0 ist

31.08.2017, 11:57

HAL 9000

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Im InSemidefinitheitsfall wie hier geht man "back to the roots" (was die Definition von Extrem- und Sattelpunkt betrifft) und schaut sich daher die Funktionswerte in einer Umgebung des Nullpunktes an:

a) Gilt da $\begin{align*} f(x,y)\geq f(0,0)=0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,y \end{align*}$ aus der Umgebung? Dann ist dort ein lokales Minumum.
b) Gilt da $\begin{align*} f(x,y)\leq 0 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} x,y \end{align*}$ aus der Umgebung? Dann ist dort ein lokales Maximum.

Gilt weder a) noch b), dann bleibt nur noch

c) Gibt es in jeder noch so kleinen Umgebung sowohl Punkte mit $\begin{align*} f(x,y)>0 \end{align*}$ als auch welche mit $\begin{align*} f(x,y)<0 \end{align*}$ , dann ist dort ein Sattelpunkt.

P.S.: Du solltest den Punkt (0,0) "kritische Stelle" statt "Extremstelle" nennen. Letzterer Ausdruck ist für Minimum/Maximum-Stellen reserviert und schließt Sattelpunkte bereits aus.

31.08.2017, 12:04

Mesut95

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Ohh Danke Hal9000 Mit Zunge

Mit Zunge

Das heisst dann f hat an der stelle (0,0) einen sattelpunkt
Und g hat auch an der stelle (0,0) einen Sattelpunkt.
Weil beide Funktionen nehmen negative Werte an sowie Positive

31.08.2017, 12:28

Mesut95

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Stimmt das ? Big Laugh

Big Laugh

31.08.2017, 12:35

HAL 9000

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Ja, so ist es, beidesmal Sattelpunkt. Das sieht man ja bereits an $\begin{align*} f(x,0)=x^3 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} g(0,y)=-y^3 \end{align*}$ .

Mit weiter gehenden Kenntnissen in der Funktionentheorie hätte man sich die letzte Betrachtung auch sparen können, denn:

Real- und Imaginärteile holomorpher Funktionen, wie wir sie hier mit $\begin{align*} f \end{align*}$ und $\begin{align*} g \end{align*}$ vorliegen haben, sind harmonische Funktionen, die besitzen keine lokalen Extremstellen außer in dem Trivialfall, dass sie konstante Funktionen sind ("Maximumprinzip").

31.08.2017, 13:25

Huggy

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Zitat:

Original von Mesut95
Wenn alle Eigenwerte >0 sind dann Positiv Definit
Wenn alle Eigenwerte >=0 sind dann Positiv semidefinit
Wenn alle Eigenwerte <0 sind dann Negativ Definit
Wenn alle Eigenwerte <=0 sind dann Negativ Semidefinit
Wenn die Eigenwerte Negative und Positive Werte sind dann indefinit
Aber nirgends steht was ist wenn alles 0 ist

Aber klar doch steht da etwas, wenn alle Eigenwerte 0 sind. Dann ist die Matrix semidefinit, und zwar sowohl positiv als auch negativ semidefinit.

Das heißt

Zitat:

Original von HAL 9000
Im Indefinitheitsfall wie hier geht man "back to the roots" (was die Definition von Extrem- und Sattelpunkt betrifft) und schaut sich daher die Funktionswerte in einer Umgebung des Nullpunktes an:

Der Indefinitsheitsfall liegt hier gerade nicht vor. Denn würde schon die Hessematrix besagen, dass ein Sattelpunkt vorliegt. Weil die Matrix semidefinit ist, muss man "back to the roots".

31.08.2017, 13:29

HAL 9000

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Na von mir aus, mit diesen Begriffen hatte ich es noch nie so. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.08.2017, 13:42

Huggy

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@HAL
Bei allem Augenzwinkern, diese Antwort finde ich nicht gut. Definit, semidefinit und indefinit sind wohl definierte Begriffe. Wenn jemand wie du so viel Wert auf Exaktheit legt, sollte er diese Begriffe auch exakt verwenden, auch wenn er es mit ihnen "noch nie so hatte".

Mir ging es aber nur darum, den Fragesteller darauf hinzuweisen, dass seine Hessematrix nicht indefinit ist, was er aus deiner Antwort schließen musste und was wohl auch seiner Vorstellung entsprach.

31.08.2017, 14:29

Huggy

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Nachtrag

Zitat:

Original von Huggy
Bei Funktionen von 2 Variablen lassen sich die Kriterien für lokale Extrema und Sattelpunkte besonders einfach formulieren.

Den Punkt möchte ich noch ausführen. Es sei $\begin{eqnarray*} f(x,y) \end{eqnarray*}$ eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ ein kritischer Punkt dieser Funktion. Dann kann man die hinreichenden Kriterien für ein lokales Extremum bzw. für einen Sattelpunkt in $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ so formulieren:

Wenn gilt

$\begin{eqnarray*} f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0 \end{eqnarray*}$

dann liegt ein strenges lokales Extremum vor und war ein Maximum bei $\begin{eqnarray*} f_{xx}<0 \end{eqnarray*}$ und ein Minimum bei $\begin{eqnarray*} f_{xx}>0 \end{eqnarray*}$ .

Wenn gilt

$\begin{eqnarray*} f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0 \end{eqnarray*}$

dann liegt ein Sattelpunkt vor.

Alle partiellen Ableitungen beziehen sich auf den kritischen Punkt.

31.08.2017, 17:05

HAL 9000

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@Huggy

Ja, große Entschuldigung. Gott

Gott

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